使用 OpenID
登入
使用 教育雲端帳號
登入
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
2nd Order Linear Homogeneous Differential Equations 1 : Introduction to 2nd order, linear, homogeneous differential equations with constant coefficients.
相關課程
- 現在我們要離開
- 一階微分方程的世界
- 來到二階微分方程的世界
- 什麽意思呢？
- 意思是 現在我們開始
- 涉及二階導數了
- 我馬上要給大家展示的一類是。。
- 這可能是最有用的一類
- 如果你正在學經典物理的話
- 就是二階線性微分方程了
- 什麽是二階線性微分方程呢？
- 我想 在很開始的幾課裏面
- 我們接觸過了
- 它們看上去是這樣的
- 如果我有。。。僅關於x的函數
- 乘以y關於x的二階導數
- 加上b(x)乘以
- y關於x的導數 加上c(x)
- 乘以y等於某函數
- 僅關於x的函數
- 爲了複習一下術語
- y是二階的
- 因爲這裡面的最高階
- 是二階導數
- 所以它是二階的
- 什麽是線性的呢？
- 這裡的所有係數
- 我想 要認真對待這些係數項
- 因爲通常我們認爲
- 它們都是常數
- 但這裡是以x的函數作爲係數
- 爲了使得
- 它是一次方程
- a(x) b(x) c(x)和d(x)
- 它們都只是關於x的函數
- 正如所寫的那樣
- 現在
- 在我們來解普遍情況之前
- 先來處理特殊情況
- 也就是a、b、c都是常數 d是0
- 這看上去怎樣呢？
- 重寫一下
- A不是函數了
- 它只是一個數字
- A乘以 y關於x的二階導
- 加上B乘以一階導 加上Cy
- 第四個常數沒有了
- 不再是d(x)
- 讓它等於0
- 讓它等於0之後
- 我給大家介紹的是
- 另一種形式的齊性微分方程了
- 稱它爲齊次的
- 我實在沒有辦法
- 把這些個二階方程
- 和之前介紹過的一階齊次方程
- 聯係起來
- 這兩種“齊次”
- 看上去沒有什麽聯係
- 我想 它們只是恰巧有一樣的名字
- 盡管它們沒有聯係
- 至於爲什麽它稱爲“齊次”
- 是因爲這爲0
- 所以這使得它是齊次的
- 事實上 我倒是看出了
- 這種方程
- 和均脂牛奶的聯係
- 因爲你想啊
- 所有齊次方程的解
- 當你解出來的時候
- 它們總是等於0
- 所以它們也是“均質”的 我想
- 這勉強說是有點聯係吧
- 所以 我們可以稱這爲二階的
- 因爲A、B、C都是函數。。。
- 它們甚至不是x、y的函數
- 它們只是常數
- 二階線性齊次。。。
- 因爲它們等於0
- 我想 在某種程度上
- 它們解起來倒是挺有趣的
- 事實上 它們很有用 因爲
- 經典物理中有很多應用
- 這就是大家要解得
- 但它們解起來很有趣
- 因爲可以歸結爲代數2的問題
- 馬上我就介紹解法
- 但現在還是細想一下
- 想想這些解
- 都有什麽性質
- 我們來抛磚引玉啦
- 假設g(x)是一個解
- 意味著 Ag''(x)
- 加上Bg' 加上Cg 等於0
- 對吧？
- 這是一樣的東西
- 現在 我的問題是
- 如果g乘上常數呢？
- 那還是一個解麽？
- 我的問題是 c1g(x)
- c1g 還是一個解嗎？
- 好的 我們來試試
- 把這個代入我們的原方程
- A乘以二階導。。。
- 換種顏色 用棕色吧
- A乘以二階導。。。
- 每次求導的時候
- 常數都可以提出去
- 所以是 Ac1g''
- 加上。。。對一階導也是那樣
- B乘以c1g'
- 加上C
- C和c1是不同的 乘以g
- 看看這是否等於0
- 我們可以把c1提出來
- 得到c1乘以Ag''
- 加上Bg'+Cg
- 注意啦 我們知道
- 因爲g(x)是一個解
- 我們知道這是對的
- 所以這會是0
- 因爲g是一個解
- 如果這是0 c1乘以0也是0
- 這裡的式子也會是0
- 另一種理解方式是 如果g是一個解
- 是這個二階線性
- 齊性微分方程的解
- g乘以某常數也會是一個解
- 所以這也是微分方程的一個解
- 然後下一個我想說的性質是。。。
- 不要擔心 這能行
- 我想問的下一個問題是
- 我們知道g(x)是
- 微分方程的一個解
- 如果我告訴你們
- h(x)也是一個解呢？
- 我的問題是
- g(x)+h(x)也是解嗎？
- 如果這兩個函數都是解
- 加一起的話 那還是
- 原方程的解嗎？
- 好吧 我們把這個
- 代入我們的原方程 對吧？
- A乘以這個的
- 二階導
- 好吧 這很簡單粗暴
- 這是g''+h''
- 加上B乘以。。。 它的一階導
- 是g'+h'
- 加上C乘以。。。函數g+h
- 現在怎麽做？
- 用一下分配律
- 得到Ag''
- 加上Ah''
- 加上Bg'
- 加上Bh'
- 加上Cg 加上Ch
- 現在重排一下
- 得到A。。。 處理一下這個
- 所有g項
- A乘以g''
- 加上Bg' 加上Cg
- 共這三項
- 加上Ah''
- 加上Bh' 加上Ch
- 現在 我們知道g和h都是解
- 原微分方程的解
- 根據定義 如果g是
- 原方程的解
- 這就是那方程的
- 左邊
- 這等於0
- 所以它會等於0
- 我們展示過 整個表達式是0
- 如果g是微分方程的解的話
- 是這個二階線性
- 齊性微分方程的解
- h也是解的話
- 把它們加到一起
- 和還是一個解
- 總的來說 如果g是解
- h也是解 加到一起還是解
- 之前看到過
- 乘上任意常數也是解
- 所以可以說 某常數乘以g(x)
- 加上某常數乘以g(x） 還是一個解
- 也許這些常數有某一個
- 會是0
- 我不確定
- 但無論如何 這些都是
- 很有用的性質
- 可以用來理解二階齊劣線性微分方程
- 下一個影片中
- 我們會把這些性質
- 應用到解上面的
- 你們會發現 它們確實很簡單直接
- 我會說
- 比之前的一階齊次方程
- 或者恰當方程
- 都要簡單得多
- 真的很簡單
- 下次見啦
留言:
新增一則留言(尚未登入)
更多
載入中...
新增一則留言(尚未登入)
更多