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2nd Order Linear Homogeneous Differential Equations 2: Let's find the general solution!
相關課程
- 我已經講了很多
- 關於二階線性齊性微分方程的抽象表達
- 如果g是一個解
- g乘上常數也是一個解
- 如果g、h都是解
- g+h也是解
- 來實際操作一下吧
- 因爲這能夠幫助你們理解
- 而不被迷惑到
- 假如我有這個微分方程
- y關於x的二階導
- 加上5y'
- 關於x的導數
- 加上6y 等於0
- 我們要求出這樣的y
- 它的二階導y''
- 加上5y'
- 加上6y 等於0
- 現在 我們來做。。。
- 回頭一步
- 想想怎樣的函數。。。
- 如果我有一個函數
- 求它的導數
- 然後求它的二階導
- 通常我會得到不一樣的結果
- 比如說 如果y=x2 y'=2x
- y''等於2
- 把它們加到一起 好吧
- 怎樣才能把x項消掉
- 最後得出0呢？
- 用自己的腦袋瓜想想
- 存在這樣的函數
- 當我取一階和二階導數時
- 還有三階、四階的
- 那會是相同的麽？
- 很可能函數前面的係數
- 取導數的時候會變化
- 如果你看過我的很多影片
- 你就會發現 我認爲
- 數學中最神奇的函數
- 就是函數e^x了
- 特別地 e^x在這裡可能不行
- 但也可以試試 對吧？
- 代入e^x
- 不滿足方程 對吧？
- 會得到e^x
- 加上5e^x 加上e^x
- 這不等於0
- 但可能y是e^rx
- 那我們就假定
- y是e^rx
- 把它代回這裡
- 看看能不能解出r
- 恰好滿足方程
- 如果可以的話 我們就得到了解
- 也許我們還找到了好幾個解
- 來試試吧
- 讓y=e^rx
- 代入這個微分方程
- 它的一階導數是什麽呢？
- 首先
- y的導數是什麽呢？
- 連鎖律
- 裏面rx的導數是r
- 外面e^rx的導數
- 還是e^rx
- 二階導是什麽呢？
- y''等於。。。
- r還是常數
- 裏面的導數是r
- 乘以之前的r 就是r2了
- 乘以e^rx
- 現在 我們準備好了
- 還是換種顏色吧
- 二階導數
- 是r2e^rx
- 加上5倍的一階導
- 也就是5re^rx 加上6倍的原函數
- 也就是6e^rx 等於0
- 有些節奏了吧
- 感受這些節奏 就可以解出r了
- 左邊的這些項都有e^rx
- 所以提出來
- 那就是 e^rx乘以r2
- 加上5r+6 等於0
- 我們的目標是――解出r
- 或者說r們 使得方程成立
- 這邊的方程等於0的話
- 得到什麽呢？
- e^rx有可能爲0嗎？
- 有可能取合適的指數 讓它爲0嗎？
- 沒可能的
- 所以 它不可能爲0
- 爲了使得方程
- 左邊爲0
- 這項 這個表達式 必須爲0
- 換種顏色來寫
- 如果要解出r的話
- r2+5r+6必須爲0
- 這稱爲“特征方程”
- 這個r2+5r+6
- 稱之爲“特征方程”
- 很顯然了吧
- 這不是微積分的內容了
- 就是二次式的因式分解了
- 這個式子
- 很容易就能分解了
- 那是什麽呢？
- 是(r+2)(r+3)=0
- 那特征方程的解就是。。。
- 或者說 原方程的解是。。。
- r=-2或者-3
- 現在可以說 嘿 我們搞定了~
- 因爲我們求出了兩個可能的r
- 使得方程滿足了
- 那些是什麽呢？
- 好的 首先y等於
- e^rx 對吧？
- 稱之爲y1
- 然後我們求得的第二個解是
- y2等於。。。這是什麽呢？ r=-3
- 現在我的問題是
- 這是一般解麽？
- 好吧 在上個影片中
- 介紹性的影片中
- 我們知道了 常數乘以解
- 還是解
- 所以 如果y1是一個解
- 我們知道 y1可以乘上任意常數
- 來試試吧
- 乘上c1
- c1在這
- 這也會是一個解
- 現在解看上去更一般了 對吧？
- 它是一族函數
- c不一定是1
- 它可以是任意常數
- 然後 如果利用起始情況的話
- 你其實是可以算出是多少的
- 對於y2也一樣
- y2不一定就是1<i>e^-3x</i>
- 它可以乘任意常數
- 還有 上一個影片中 我們還道
- 如果某函數是解的話
- 乘上常數還是一個解
- 同時我們還知道
- 如果有兩個不同的解
- 把它們加到一起 得到的還是一個解
- 所以 最一般的解是
- 對於這個微分方程
- 是y(x)。。。
- 一語中的的話
- 這是關於x的一個函數
- y(x)等於 c1<i>e^-2x</i>
- 加上c2<i>e^-3x</i>
- 這才是微分方程的
- 一般解
- 我就不證明了
- 因爲那很難
- 我的意思是 我們只試了e^rx
- 說不定還有其他的詭異函數
- 也滿足方程
- 但我要告訴大家
- 盡管跳過了證明 大家還是可以放心
- 這就是唯一的一般解了
- 再也不會有什麽詭異函數
- 能滿足方程的了
- 另一個問題是
- 可能在你腦瓜閃現的是
- Sal 我們處理一階微分方程的時候
- 我們只有一個常數啊
- 好吧
- 因爲我們有一個起始情況
- 來解出我們的常數
- 但這裡 有兩個常數
- 所以 如果我想得到特解的話
- 如果我只有一個起始情況的話
- 我怎能解出兩個未知元？
- 如果你就是這麽考慮的話
- 你的直覺很靠譜
- 你需要兩個起始情況
- 才能解出這個方程
- 你需要知道的是 給定一個x
- y的值
- 然後 給定一個x
- 一階導數的值
- 這就是下個影片中 我們要做的
- 再見
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