載入中...
相關課程
登入觀看
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
2nd Order Linear Homogeneous Differential Equations 2 : Let's find the general solution!
相關課程
0 / 750
- 我已經講了很多
- 關於二階線性齊性微分方程的抽象表達
- 如果g是一個解
- g乘上常數也是一個解
- 如果g、h都是解
- g+h也是解
- 來實際操作一下吧
- 因爲這能夠幫助你們理解
- 而不被迷惑到
- 假如我有這個微分方程
- y關於x的二階導
- 加上5y'
- 關於x的導數
- 加上6y 等於0
- 我們要求出這樣的y
- 它的二階導y''
- 加上5y'
- 加上6y 等於0
- 現在 我們來做。。。
- 回頭一步
- 想想怎樣的函數。。。
- 如果我有一個函數
- 求它的導數
- 然後求它的二階導
- 通常我會得到不一樣的結果
- 比如說 如果y=x2 y'=2x
- y''等於2
- 把它們加到一起 好吧
- 怎樣才能把x項消掉
- 最後得出0呢？
- 用自己的腦袋瓜想想
- 存在這樣的函數
- 當我取一階和二階導數時
- 還有三階、四階的
- 那會是相同的麽？
- 很可能函數前面的係數
- 取導數的時候會變化
- 如果你看過我的很多影片
- 你就會發現 我認爲
- 數學中最神奇的函數
- 就是函數e^x了
- 特別地 e^x在這裡可能不行
- 但也可以試試 對吧？
- 代入e^x
- 不滿足方程 對吧？
- 會得到e^x
- 加上5e^x 加上e^x
- 這不等於0
- 但可能y是e^rx
- 那我們就假定
- y是e^rx
- 把它代回這裡
- 看看能不能解出r
- 恰好滿足方程
- 如果可以的話 我們就得到了解
- 也許我們還找到了好幾個解
- 來試試吧
- 讓y=e^rx
- 代入這個微分方程
- 它的一階導數是什麽呢？
- 首先
- y的導數是什麽呢？
- 連鎖律
- 裏面rx的導數是r
- 外面e^rx的導數
- 還是e^rx
- 二階導是什麽呢？
- y''等於。。。
- r還是常數
- 裏面的導數是r
- 乘以之前的r 就是r2了
- 乘以e^rx
- 現在 我們準備好了
- 還是換種顏色吧
- 二階導數
- 是r2e^rx
- 加上5倍的一階導
- 也就是5re^rx 加上6倍的原函數
- 也就是6e^rx 等於0
- 有些節奏了吧
- 感受這些節奏 就可以解出r了
- 左邊的這些項都有e^rx
- 所以提出來
- 那就是 e^rx乘以r2
- 加上5r+6 等於0
- 我們的目標是――解出r
- 或者說r們 使得方程成立
- 這邊的方程等於0的話
- 得到什麽呢？
- e^rx有可能爲0嗎？
- 有可能取合適的指數 讓它爲0嗎？
- 沒可能的
- 所以 它不可能爲0
- 爲了使得方程
- 左邊爲0
- 這項 這個表達式 必須爲0
- 換種顏色來寫
- 如果要解出r的話
- r2+5r+6必須爲0
- 這稱爲“特征方程”
- 這個r2+5r+6
- 稱之爲“特征方程”
- 很顯然了吧
- 這不是微積分的內容了
- 就是二次式的因式分解了
- 這個式子
- 很容易就能分解了
- 那是什麽呢？
- 是(r+2)(r+3)=0
- 那特征方程的解就是。。。
- 或者說 原方程的解是。。。
- r=-2或者-3
- 現在可以說 嘿 我們搞定了~
- 因爲我們求出了兩個可能的r
- 使得方程滿足了
- 那些是什麽呢？
- 好的 首先y等於
- e^rx 對吧？
- 稱之爲y1
- 然後我們求得的第二個解是
- y2等於。。。這是什麽呢？ r=-3
- 現在我的問題是
- 這是一般解麽？
- 好吧 在上個影片中
- 介紹性的影片中
- 我們知道了 常數乘以解
- 還是解
- 所以 如果y1是一個解
- 我們知道 y1可以乘上任意常數
- 來試試吧
- 乘上c1
- c1在這
- 這也會是一個解
- 現在解看上去更一般了 對吧？
- 它是一族函數
- c不一定是1
- 它可以是任意常數
- 然後 如果利用起始情況的話
- 你其實是可以算出是多少的
- 對於y2也一樣
- y2不一定就是1<i>e^-3x</i>
- 它可以乘任意常數
- 還有 上一個影片中 我們還道
- 如果某函數是解的話
- 乘上常數還是一個解
- 同時我們還知道
- 如果有兩個不同的解
- 把它們加到一起 得到的還是一個解
- 所以 最一般的解是
- 對於這個微分方程
- 是y(x)。。。
- 一語中的的話
- 這是關於x的一個函數
- y(x)等於 c1<i>e^-2x</i>
- 加上c2<i>e^-3x</i>
- 這才是微分方程的
- 一般解
- 我就不證明了
- 因爲那很難
- 我的意思是 我們只試了e^rx
- 說不定還有其他的詭異函數
- 也滿足方程
- 但我要告訴大家
- 盡管跳過了證明 大家還是可以放心
- 這就是唯一的一般解了
- 再也不會有什麽詭異函數
- 能滿足方程的了
- 另一個問題是
- 可能在你腦瓜閃現的是
- Sal 我們處理一階微分方程的時候
- 我們只有一個常數啊
- 好吧
- 因爲我們有一個起始情況
- 來解出我們的常數
- 但這裡 有兩個常數
- 所以 如果我想得到特解的話
- 如果我只有一個起始情況的話
- 我怎能解出兩個未知元？
- 如果你就是這麽考慮的話
- 你的直覺很靠譜
- 你需要兩個起始情況
- 才能解出這個方程
- 你需要知道的是 給定一個x
- y的值
- 然後 給定一個x
- 一階導數的值
- 這就是下個影片中 我們要做的
- 再見