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Exact Equations Example 1: First example of solving an exact differential equation.
相關課程
- 好吧 我在你們腦瓜裏
- 寫滿了一堆的偏導數和Ψ
- 關於各種x和各種y
- 我想 現在是時候
- 來處理真正的微分方程了
- 讓一切來得更具體些
- 我們有微分。。。y。。。
- 微分方程 ycosx
- 加上2xe^y+sinx 。。。
- 用太多空間了
- x2乘以e^y
- 減去1 乘以y' 等於0
- 好吧 希望大家的腦子
- 都切換到微分方程模式了
- 但如果你從總體看這個式子的話
- 這是x、y的一個函數
- 是一個關於x、y的函數
- 這是另一個關於x、y的函數
- 乘以y' 或者說dy/dx
- 腦子裏馬上想到
- 這是不可隔離變量的
- 我不會嘗試去隔離變量
- 因爲那會花費太多時間
- 如果它不可隔離 就要想到
- 這可能是一個恰當方程
- 你會說
- 來看看是否爲恰當方程
- 如果是恰當方程的話
- 這是我們的M(x,y)
- 這是我們的N
- 也是x、y的一個函數
- 下面 就要看看關於y的
- 偏導數
- 是否等於關於x的偏導
- 來看看
- M關於y的偏導 等於。。。
- 看看
- y是。。。 cos x看做常數
- 是cos x
- cos x加上 。。。它的導數是什麽？
- 好吧 2x也是常數
- e^y的關於y的導數是什麽呢？
- 就是e^y 對吧？
- 還有我們的“常數”
- 2x乘以 關於y的導數
- 是2xe^y
- 簡單吧
- 那這部分關於y的偏導數
- 是什麽呢？
- Nx 或者說N關於x的偏導
- sinx關於x的偏導數
- 是啥子呢？
- 很簡單 就是cos x了
- 加上2x<i>e^y 對吧？</i>
- e^y只是看做常數
- 因爲我們求關於x偏導的時候
- y看做常數
- 加上2xe^y。。。
- 還有-1 常數的導數
- 無論關於什麽的 都是0
- N的導數。。。應該是N
- 關於x的偏導 是cos x+2xe^y
- 看吧
- 它和M關於y的偏導數
- 是一模一樣的
- 我們來到這裡了
- 我們看到了 My是等於。。。
- 或者說 M關於y的
- 偏導數是等於N關於x的
- 偏導數
- 這就告訴了我們 這是恰當方程
- 現在 知道了這是恰當方程。。。
- 噢 我夫人在後面晃悠 我想吧
- 有些什麽動物
- 在我房子裏面
- 不管了 我們知道這是恰當方程
- 它能告訴我們什麽？
- 它告訴我們 存在Ψ
- 它關於x的偏導數
- 是M
- Ψ關於y的偏導數
- 是N
- 如果知道了Ψ
- 我們就可以重寫微分方程
- 寫作Ψ關於x的導數
- 等於0
- 於是我們來解Ψ
- 我們知道 Ψ關於x的偏導
- 是M
- 寫下來
- Ψx是
- 等於M
- 也就是ycos x
- 加上2xe^y
- 在這裡
- 這是M
- 也可以用另一種方法來寫
- 我們說Ψ
- 關於y的偏導數
- 是這個
- 但剛才只寫了關於x的
- 現在 至少近似地得到了。。。
- 不是近似地
- 是大致了解。。。
- 求兩邊的的導數
- 不對 取不定積分
- 關於x求不定積分
- 求導數的話
- 關於x。。。
- 不對 是積分
- 如果你對其關於x
- 求不定積分
- 我們寫下來
- 關於x的偏導
- 求關於x的積分
- 這會是
- 這個式子關於x的積分
- 是cos x+2xe^y
- 是求關於x的積分
- 關於x求積分的話
- 可以說 要加上C 對吧？
- 但現在是加上。。。
- 因爲這是關於x的偏導
- 總的來說 我們要加上f的函數
- 因爲我們把y看做常數 對吧？
- 這是有意義的 因爲如果你
- 對兩邊求關於x的偏導
- 如果你對一個以y作爲變量的函數
- 關於x求偏導
- 結果是0
- 所以當你求不定積分時
- 你可能
- 需要把關於y的函數加回去
- 它們是求關於x的偏導時丟掉的（爲0）
- 無論如何 這用Ψ表示
- Ψ等於關於x的
- 積分
- 或者說是關於x的不定積分
- 加上f(y)
- 它在我們求關於x的偏導時
- 爲0
- 我們來做一下
- 算出這個積分
- 用藍色吧 y是常數
- ycos x的不定積分
- 是ysin x
- 加上。。。y是常數 2x
- 2x的不定積分
- 是x2
- 也就是x2e^y
- 然後加上f(y)
- 如果你想驗證的話
- 就對結果求關於x的偏導
- 如果你求它關於x的偏導
- 就能得到這裡的式子
- 也就是上面的M
- 然後你對它關於x求偏
- 得到0 它消失了
- 好的 快得到結果了
- 我們馬上就算出了Ψ
- 我們還是需要算出f(y)的
- 好的 如果對它求關於y的偏導
- 因爲這是恰當的
- 應該得到這個
- 得到我們的函數N
- 來做一下吧
- 偏導。。。換一下記號
- 讓大家多適應
- 那?Ψ/?y
- 等於。。。 這裡ysin x
- sin x是常數
- y是y 它的導數
- 關於y的導數 是sin x
- 加上e^y的導數是e^y
- x2是常數
- 所以這是x2e^y
- 加上。。。f(y)關於y的偏導是什麽呢？
- 是f'(y)
- 好吧 我們做了什麽？
- 正如我們說的 對M關於x求積分
- 我們把f(y)丟掉了
- 所以要加回去
- 然後我們對它求導
- 我們馬上就求完了
- 關於y求偏導
- 現在 我們知道 因爲是恰當的
- 所以這等於N
- N在上面這裡
- 是cos x加上。。。 等於。。。
- 確定一下我寫對了
- 等於N 對吧？
- 不好意思
- N在這裡
- N是這樣的
- sin x。。。 寫一下吧
- sin x+x2e^y 減去1
- 也就是 sin x +x2e^y-1
- 這是我們的N
- 在原方程中能看到
- 現在我們可以求出f'(y)了
- 來看看
- 我們有sin x+x2e^y
- 加上f'(y)
- 等於sin x 加上x2
- 乘以e^y 減1
- 看看 我們可以在兩邊消去sin x
- 也可以在兩邊消去x2e^y
- 然後還剩下什麽呢？
- 剩下f'(y)=1
- 然後就得到f(y)等於
- 好了 是等於y+常數C 對吧？
- 現在 Ψ是什麽呢？
- 我們把Ψ寫在這裡了 它包含了f(y)
- 現在可以重寫了
- Ψ是x、y的函數
- 實際上 我們解出來了
- Ψ(x,y)等於 ysinx
- 加上x2e^y 加上y
- 喔 不好意思 f'(y)等於-1
- 所以這是-1
- 這是-y+C
- 這也就是 -y+C
- 我們解出Ψ了
- 這告訴了我們什麽？
- 好了 原始的微分方程
- 在這 利用偏導下的連鎖律
- 原始的微分方程
- 現在可以重寫爲
- Ψ關於x的導數是。。。
- Ψ是x、y的函數 等於0
- 如果你對兩邊求積分
- 得到Ψ(x,y)=0
- 這是微分方程的一個解
- 如果讓這等於C
- 這是微分方程
- 我們可以說
- 有ysin x+x2e^y
- 減去y 可以說 加上這個C
- 寫出C1 等於C2
- 好的 兩邊可以減一下C
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