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Exact Equations Example 3: One more exact equation example
相關課程
- 歡迎回來
- 我還是繼續
- 給大家展示更多的
- 關於正合微分方程的例子
- 首先 我們要
- 檢驗一下方程是否恰當
- 然後如果是恰當的話
- 大家都知道
- 怎樣去求出Ψ以及方程的解吧？
- 我書上的下一個例子
- 是(3x2-2xy+2)dx
- 加上(6y2-x2+3)dy
- 等於0
- 如果寫出這樣的話
- 它的表面形式並不是我們喜聞樂見的 對不？
- 我們想要什麽形式的呢？
- 我們想要 關於x、y的一個函數
- 加上另一個關於x、y的函數
- 乘以y' 或者dy/dx
- 等於0的
- 接近了
- 怎樣把這個方程化爲那樣的呢？
- 只需要把方程兩邊除以dx
- 對吧？
- 然後就得到了 3x2-2xy+2
- 除以dx了
- dx就變成了1
- 加上6y2-x2+3
- 除以dx的話
- 這就變成了dy/dx
- 等於。。。0除以dx是什麽啊？
- 還是0
- 這就做到了
- 我們把方程寫成了
- 想要的形式
- 現在我們需要證明
- 這是恰當方程
- 來吧
- M的偏導是什麽？
- 這是函數M 對吧？
- 這是加號
- 這部分關於y的偏導是多少？
- 這是0
- 這是-2x
- 這是一個2
- 這部分關於y的偏導是-2x
- 那N關於x的偏導呢？
- 這是0
- 這會是-2x
- 得到結果了
- M關於y的偏導
- 等於N關於x的偏導
- My等於Nx
- 我們處理的是方程是恰當的
- 下面我們來求出Ψ
- Ψx等於M
- 也就是3x2-2xy+2
- 兩邊關於x
- 求不定積分
- 得到Ψ等於
- x3減去x2y
- 因爲y看做常數
- 加上2x 加上關於y的函數
- 對吧？
- 我們知道Ψ是關於x、y的函數
- 當求導數的時候
- 當你關於x求偏導的時候
- 僅關於y的函數就會消失
- 它表現得像是常數
- 正如剛開始學不定積分那樣
- 現在 爲了解出Ψ
- 我們只需要求出h(y)
- 怎樣做呢？
- 我們來對Ψ求關於y的偏導
- 結果會是等於這個
- Ψ關於y的偏導 這是0
- 這是-x2
- 所以是-x2 這是0
- 加上h'(y)
- 這等於什麽呢？
- 它等於我們的N(x,y)
- 它會等於這個
- 下面我們可以解了
- 它等於6y2
- 減去x2 加3
- 兩邊加上x2
- 消掉這倆
- 這樣就只剩下h'(y)了
- 它等於6y2+3
- 求不定積分
- h(y)等於。。。 2y3+3y
- 加上一個C
- 但最後解完方程的話
- C會被合並處理掉
- 所以現在就不用太關心它了
- 我們的函數Ψ是什麽呢？
- 用一種新的顏色吧
- 函數Ψ(x,y)
- 等於x3-x2y+2x
- 加上h(y) 我們已經知道它了
- h(y)是2y3+3y
- 也可以寫上C
- 但它並不那麽重要
- 實際上 我想
- 做一些不同的東西
- 我不想只是單純地解出它
- 我想回去看看它的內涵
- 因爲我不想完全地機械化
- 給大家展示一下
- 利用我們知道的
- 偏導下的連鎖律
- 來求Ψ關於x的導數
- Ψ關於x的導數是什麽呢？
- 這裡 我們想用一下隱式微分技巧
- 它的導數
- 用新的顏色來寫
- 3x3減去
- 現在我們
- 要用到連鎖律了
- 第一個表達式
- 關於x的導數
- 好吧 把負號放這
- 就可以這樣來寫了
- 它是2xy 加上第一個函數
- x2 乘以
- 第二個函數關於x的導數
- 也就是y' 對吧？
- y關於y的導數是1
- 乘以y關於x的導數
- 也就是y'了
- 很簡單
- 加上這個
- 關於x的導數 是2
- 加上這關於x的導數
- 好吧 我們先來
- 求這關於y的導數
- 我們在求隱式微分
- 用連鎖律
- 這是6y2
- 用連鎖律
- 我們求出了關於y的導數
- 然後必須乘上
- y關於x的導數
- 也就是y'了
- 加上這部分關於y的導數 3乘以。。。
- 我們在用連鎖律
- y關於x的導數
- 也就是y'
- 來看看能不能化簡一下
- 這是3x2-2xy+2
- 這是這項 這項 和這項
- 加上。。。把y'寫外面
- y'乘以。。。
- 看看 外面有一個負號
- -x2+6y2 加上3
- 這個我們求出的Ψ的導數
- 來看看是不是一樣的
- 希望它和我們的原問題一樣
- 我們最開始的
- 原始方程是什麽了？
- 原始問題是 3x2-2xy+2
- 加上6y2-x2+3
- 乘以y' 等於0
- 這是我們的原始問題
- 注意到 Ψ關於x的導數
- 應用隱式微分法 恰好就是這個
- 希望大家能夠理解
- 爲什麽我們可以把方程寫爲
- 函數Ψ(x,y)
- 關於x的導數爲0
- 因爲Ψ關於x的導數
- 我寫出來了
- 它是一樣的 這裡 對吧？
- 它等於0
- 如果我們對兩邊求不定積分
- 我們知道原微分方程的解
- 是Ψ(x,y)=C
- 現在我們知道Ψ了 讓它等於C
- 我們求出了
- 微分方程的一個隱式解
- 是隱式的
- 解的話 你不必每次都這樣做
- 這裡的這些步驟
- 不是必要的
- 除非老師明確要求要做
- 我只是爲了讓你們
- 知道自己在做什麽
- 這樣就不會只是機械地做題了
- 你們確確實實看到了
- Ψ的導數 我們求出了Ψ
- 我只是想告訴大家
- Ψ關於x的導數
- 只是利用隱式微分和連鎖律
- 就能得到
- 方程的左邊
- 就是問題中的那樣
- 然後爲什麽我們會知道
- Ψ關於x的導數
- 等於0呢？
- 因爲原始的微分方程
- 就是等於0的
- 對這的兩邊求不定積分
- 可以得到Ψ=C
- 這是微分方程的解
- 如果你想寫出來的話 Ψ是這樣的
- 我們的微分方程的解
- 是x3-x2y
- 加上2x+2y3
- 加上3y 等於C
- 這是原始微分方程的
- 隱式解
- 我又一次超時了
- 下次見吧
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