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Exact Equations Intuition 2 (proofy) : More intuitive building blocks for exact equations.
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- 上節課
- 我給大家介紹了
- 偏導下的連鎖律
- 我們說 如果有一個函數Ψ
- 這是希臘字母Ψ 它是x、y的函數
- 如果我要求它的偏導數
- 關於。。。 不對 我要求導數
- 不是偏導 求它關於x的導數
- 那就是?Ψ
- 除以?x 加上?Ψ
- 除以?y 乘以dy/dx
- 上一個影片中 我沒有證明
- 但我給了大家一種直觀
- 所以相信我吧
- 但可能某天
- 我會嚴格地證明它
- 不過如果有興趣的話
- 也能在網絡上找到
- 偏導下的連鎖律的證明
- 放一邊吧
- 下面來看看偏導的另一個性質
- 這之後 我們就能直觀地感受
- 恰當方程了
- 因爲你會發現
- 這些足夠讓我們去解恰當方程了
- 但直覺這東西吧
- 好吧 我不想說它有點難
- 因爲直覺有了就是有了
- 所以 如果有一個函數Ψ
- 我要求Ψ的偏導數
- 首先是關於x的偏導
- 寫下Ψ
- 我不用每次都寫上x、y
- 然後我求關於y的
- 偏導數
- 正如記號 可以寫成。。。
- 多多少少可以看做
- 把操作符（求導符號）相乘
- 可以寫成這樣
- 上面是?2Ψ
- 下面是?y 或者?x
- 也可以寫成。。。
- 這是我最喜歡的符號
- 因爲它沒有多余的符號
- 你可以說
- 求偏導 先是x
- 這意味著 對Ψ求關於x的偏導
- 然後求關於y的偏導
- 這是其中一種情況
- 先求關於x 再求關於y的偏導
- 是怎樣做的呢？
- 先是關於x
- 把y固定 求關於x的偏導
- 關於x的 把y忽略
- 然後把x固定
- 求關於y的偏導
- 那交換x和y的順序
- 會發生什麽呢？
- 會發生的是。。。
- 用另一種顏色 寫下Ψ
- 然後求偏導
- 先是關於y
- 然後是關於x 這是什麽呢？
- 這只是記號罷了
- 大家應該適應了吧
- 這是?x和?y
- 這是算符
- 這裡可能會引起誤會
- 這兩個記號
- 盡管是一樣的
- 但順序變了
- 這不過是因爲
- 看待事物的方法不一樣
- 這是說 先求關於x的偏導 再y
- 這看上更像算符
- 先求關於x的偏導 然後求關於y的
- 就像是算符乘積那樣
- 無論怎樣 這也可以寫成
- 先是y 然後才是x
- 不好意思 關於y
- 然後才是關於x的偏導
- 現在 我要告訴大家
- 如果求偏之後函數都是連續的
- 我們處理的
- 大部分函數的定義域都是平凡的
- 也就是 是連續的 沒有洞的
- 函數的定義中也沒有詭異的地方
- 它們通常都是連續的
- 特別地 在第一年的微積分或微分課程中
- 我們處理的
- 大部分是連續函數
- 定義域是好的
- 如果這兩個函數是連續的
- 求偏之後還都是連續的
- 那它們就是相等的
- Ψxy等於Ψyx
- 現在 我們要應用它了
- 求偏下的連鎖律
- 應用它去解
- 一種類型的微分方程
- 一階的微分方程
- 叫做“恰當方程”
- 恰當方程是怎樣的呢？
- 它們是這樣的
- 選擇顏色真不容易啊
- 這是我的微分方程
- 關於x和y的函數
- 不確定是什麽
- 它可能是x2<i>cosy 或者其他</i>
- 不確定是什麽 可以是任意x、y的函數
- 加上另一個x、y的函數
- 稱之爲N 乘以dy/dx之後等於0
- 這是。。。
- 我不確定是否爲恰當方程
- 不過你看到這樣的形式
- 首先要做的是。。。
- 首先考慮它是否可隔離變量
- 你們應該做一些代數練習
- 看看變量是否可隔離
- 因爲那可以直接解出來
- 如果不可隔離
- 但還是這樣的形式
- 你就會問“喔 這是恰當方程麽？”
- 什麽是恰當方程？
- 好吧 首先要看
- 這裡的形式
- 看上去和這裡很相似
- 如果M是?Ψ/?x呢？
- Ψx是否就是M呢？
- 這是Ψx嗎？
- 又如果這是Ψy呢？
- 也就是Ψy=N
- 如果。。。
- 我只是想說 我們並不確定
- 如果你偶然在某處看到這個式子
- 你不會知道這是否
- 是某函數關於x的偏導數
- 或者這也是一個偏導數
- 某函數關於y的偏導數
- 但我們說 如果是呢？
- 如果確實是
- 我們就可以重新寫成 Ψ
- 關於x的偏導 加上Ψ
- 關於y的偏導 乘以dy/dx 等於0
- 這裡左邊的式子
- 和這裡是一樣的 對吧？
- 這是Ψ關於x的導數
- 用到了偏導下的連鎖律
- 所以可以重寫了
- 重寫成 這是Ψ關於x的
- 導數
- Ψ是關於x、y的函數 等於0
- 看這個微分方程
- 寫出這樣的形式
- 你會說 哎 還是不能隔離變量吧
- 但這是一個恰當方程
- 顯然
- 如果它出現在
- 最近的考試中
- 那它很可能是一個恰當方程
- 但看到這個形式 你會說
- 它可能是一個恰當方程
- 如果它是一個恰當方程。。。
- 告訴大家
- 怎樣最快地作出判斷
- 然後就可以寫成
- 某函數Ψ的導數了
- 這是Ψ關於x的偏導
- 這是Ψ關於y的偏導
- 如果可以寫成這樣
- 就可以對兩邊求導。。。
- 不對 應該是兩邊取不定積分
- 就能得到Ψ(x,y)=C
- 是方程的一個解
- 有兩件事
- 是我們應該關心的
- 之後你可能會說 好的 Sal
- 考慮過了Ψ 、偏導數 所有的這些
- 首先 怎樣知道這是否是一個恰當方程？
- 然後 如果是恰當方程
- 也就是存在那樣的一個Ψ
- 然後怎樣解出Ψ呢？
- 所以 判斷是否恰當方程的辦法
- 就是利用這個信息
- 我們知道 Ψ和它的偏導們
- 在定義域上都是連續的
- 然後關於x和y
- 求偏導數
- 在兩種求偏順序下 它們還是一樣的
- 所以我們說 這是偏導
- 關於x的 對吧？
- 這是關於y的偏導
- 如果這是恰當方程
- 如果它是恰當的
- 對它關於y的
- 偏導數 對吧？
- 對M求關於y的偏導。。。
- 也就是Ψx
- 等於M
- 如果我們對它求關於y的
- 偏導數
- 可以重寫成這樣
- 它是等於
- Nx 對吧？
- Ψ關於y的偏導 是N
- 如果我們對兩邊
- 求關於x的偏導
- 我們知道它們應該是相等的
- 如果Ψ和它的偏導都是連續的話
- 所以這是相等的
- 因此 這其實是判斷
- 恰當與否的辦法
- 我來重新寫一下
- 總結一番
- 如果你看到這樣的形式M(x,y)
- 加上N（x,y)dy/dx 等於0
- 然後就應該 對M求關於y的
- 偏導數
- 然後對N求關於x的偏導
- 它們會是相等的
- 這。。。是若且唯若的
- 如果滿足的話 它就是恰當方程
- 正合微分方程
- 這是恰當的
- 如果它是恰當方程
- 也就告訴了我們 存在一個Ψ
- 它的導數等於0
- 或者Ψ(x,y)=C
- 這是方程的解
- Ψ關於x的偏導
- 等於M
- Ψ關於y的偏導
- 等於N
- 在下一個影片中
- 我會告訴大家 怎麽利用這個信息解方程
- 這裡我還是要指出某些東西
- 這是Ψ關於x的
- 偏導數
- 當我們要做判斷時
- 要關於y求偏
- 因爲我們想得到混合導數
- 同樣地
- 這是Ψ關於y的
- 偏導數 但我們要判斷的話
- 就要取其關於x的偏導
- 又得到了混合導數
- 這是關於y的
- 這是關於x的 得到這個
- 無論如何 有點複雜
- 但希望大家能明白我所做的一切
- 我想 大家應該有了
- 一種關於恰當方程的直覺
- 下節課 我教大家
- 解一些恰當方程 下次見啦~