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- 下面給大家介紹一下
- 齊性微分方程
- 我們形容牛奶時 也用Homogeneous（勻質的）
- 我們喜歡牛奶的
- 脂肪都均勻地分散開來
- 但這個詞在此處
- 至少我沒看出來有什麽聯係
- 齊性微分方程
- 甚至在微分方程裏面
- 之後我們還會學到
- 一種不同的齊性微分方程
- 它們稱作
- 齊劣線性微分方程
- 那和現在會有很大的不同
- 不過無論怎樣 爲了教學
- 我馬上會給大家展示
- 齊性微分方程
- 我們要處理的是
- 一階的方程
- 齊性微分方程是什麽呢？
- 好吧 如果我有一個傳統的
- 一階微分方程 可以寫成這樣
- dy/dx等於f(x,y)
- 我們來試著處理一下
- 它不可隔離變量 也不是恰當的
- 我們知道的是 如果它是齊次的
- 如果它是齊性微分方程
- 我們可以做一個變量替換
- 那個變量替換 可以使得方程
- 變得可隔離變量
- 但在那之前 我要告訴大家
- “齊次”意味著什麽？
- 好的 如果我可以巧妙地
- 對方程右邊作代數處理
- 實際上可以重寫爲
- 不再是x、y的函數
- 如果可以重寫微分方程
- 那dy/dx等於某函數
- 稱之爲G 或者用大寫F吧
- 代數上可以重寫的話
- 它是y/x的一個函數
- 然後作一個變量替換
- 它就可隔離變量了
- 現在 看上去很迷茫吧
- 我給大家一個例子
- 我給大家展示一個例子
- 看看些東西
- 然後做一下變量替換
- 我們假設 微分方程
- 是dy/dx
- 等於(x+y)/x
- 如果喜歡的話
- 你可以使得它可隔離變量
- 但那也不是那麽直接簡單的
- 至少 由觀察就知道
- 它不是那麽容易解決的
- 正如你看到的 我們有導數
- 它等於f(x,y)
- 我的問題是
- 真的能夠僅通過代數處理
- 把它重寫爲F(y/x)嗎？
- 當然可以
- 分子分母都除以x
- 這是x/x+y/x
- 方程還是一樣的 dy/dx
- 等於這個
- 整個方程也就等於。。。
- 我隨意換種顏色吧
- 它
- dy/dx等於。。。 x/x=1
- 假設了x不爲0
- 加上y/x
- 你可能會問
- 關於y/x的函數是什麽意思啊？
- 好吧 正如你所看到的
- 當我通過代數技巧重寫這個方程
- 得到了1+y/x
- 因此如果我說y/x
- 等於第三個變量
- 這就是關於第三個變量的函數了
- 事實上 我下面就來做這件事
- 我們對y/x做變量替換
- 我們說v 用不同的顏色寫v
- 我們假設v=y/x
- 也有別的寫法 兩邊乘以x
- 可以寫出y=xv
- 我們用v代替了y/x
- 但我們也必須替換掉 dy/dx
- 因此 來看看
- 怎樣用關於v的導數來處理
- dy/dx是等於。。。
- 這部分關於x的導數是什麽？
- 如果我們假設v也是關於x的函數
- 那我們就可以利用乘法法則了
- x的導數是1 乘以v 加上x
- 乘以v關於x的導數
- 現在 我們可以用這個
- 和這個代回方程
- 得到。。。 dy/dx等於這個
- 得到v+xdv/dx
- v關於x的導數
- 等於。。。 這是左邊
- 是1+y/x
- 但我們做了變量替換
- v等於y/x
- 所以是1+v了
- 現在 這看上去就直接多了
- 看看 我們在方程兩邊
- 減去v
- 還剩下什麽呢？
- 有xdv/dx=1
- 兩邊除以x
- 得到dv/dx
- 等於1/x
- 這開始看上去清晰很多了吧
- 看出解了吧
- 我們繼續吧
- 兩邊乘以dx
- dv等於dx/x
- 現在 我們對兩邊求不定積分
- 兩邊做積分
- 得到v等於
- x絕對值的自然對數 加上C
- 某種程度上做完了
- 但如果解
- 通過x和y寫出來的話 會漂亮些
- 那就沒有變量v了
- 因爲我們的原題
- 只包含了y和x
- 來試試吧
- v是什麽？
- 我們之前做了一個替換 v=y/x
- 現在反向代回去
- 得到y/x
- 等於ln |x|+C
- C是常數
- 兩邊乘以x
- 得到y等於 x乘以
- |x|的自然對數 加上C
- 做完了
- 我們解出了這個看上去
- 並不能可隔離變量的方程
- 但我們認出它是齊次的
- 然後做了一個變量替換
- 讓v=y/x
- 之後關於v的方程就變成可隔離變量了
- 然後解出來了
- 然後回代
- 就得到了微分方程的解
- 你們自己可以來驗證一下
- y等於ln |x|
- 加上C
- 噢 事實上 我犯錯了
- y/x等於ln |x|+C
- 如果方程兩邊乘以x的話
- 解變爲什麽呢？
- 不僅僅是xln |x|
- 這項也要乘以x 對吧？
- 分配律嘛 很業余的錯誤啊
- 正確的答案是 y等於xln |x|
- 加上Cx
- 如果你想解出C
- 我不妨給出起始情況
- 那就能解出C了
- 那就是特定解了
- 關於這個微分方程的
- 在下個影片中
- 我會多做一些例子的
- 再見