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Integrating factors 1: Using an integrating factor to make a differential equation exact
相關課程
- 大家可以通過微分方程
- 學到很多不同的技巧
- 在這個影片裏面 我教大家一個
- 它的作用很大
- 因爲它總是。。。
- 也許有一天
- 你成爲了數學家或者物理學家
- 遇到了一個未解決過的問題
- 有些技巧
- 雖然學的時候 是用來解決簡單得多的問題的
- 它也可能
- 幫助解決未解問題
- 這當然很好啦
- 如果你正在解微分方程
- 比如在試卷上
- 它就很有用
- 我們馬上來學――積分因子
- 如果我們有一個這樣的微分方程
- 這是我們的方程
- 3xy。。。 我盡量寫工整一些
- 加上y2 加上(3xy+y2)y'
- 等於0
- 特別地 因爲我們最近所學的
- 當你看到這樣形式的方程時
- 有一個關於x、y的函數
- 然後是另一個關於x、y的函數
- 乘上y' 等於0
- 就可以說 噢！這看上去
- 很可能是一個恰當方程
- 怎樣檢驗呢？
- 我們可以對這部分求
- 關於y的偏導
- 我們把這個關於x、y的函數爲M
- 它關於y的偏導
- M關於y的偏導是3x+2y
- 這裡的這個函數
- 從形式上看 這是我們的N
- 也是關於x、y的函數
- 關於x求偏導
- 得到2x+y
- 爲了讓
- 方程是恰當的
- 這部分關於y的偏導
- 必須等於這部分
- 關於x的偏導
- 但我們看到這兩個
- 它們並不相等
- 它們不相等
- 所以 至少從表面上看
- 現在就我們看到的
- 它並不是一個恰當方程
- 但如果有某個因子
- 或者函數
- 方程兩邊都乘以這個因子
- 它可能會是恰當的嗎？
- 我們稱之爲μ
- 所以 我想做的是
- 方程兩邊乘上函數μ
- 然後來解出μ
- 使得方程是恰當的
- 因此 來操作吧
- 方程兩邊都乘以μ
- 爲了簡單點
- μ可能是x、y的函數
- 也可能是x的函數
- 可能只是x的函數（與y無關）
- 也可能是y的函數（與x無關）
- 我假設它是x的函數
- 你也可以假設它是y的函數
- 然後去求它
- 當然也可以假設是x、y的函數
- 如果你假設它是x、y的函數
- 它就會很難求出
- 但這不意味著 只有一個μ
- 所以 我們還是假設μ是x的函數吧
- 方程兩邊都乘以μ
- 得到μ(x)(3xy+y2)
- 加上μ(x)(x2+xy)y'
- 然後 0乘以任何函數是什麽？
- 好吧 就是等於0 對吧？
- 0乘以μ(x)等於0
- 但我確實在右邊乘上了μ(x)
- 記住我們正在做什麽哈
- μ(x)是。。。我們乘它的目的是
- 方程兩邊乘以它之後
- 就能得到一個恰當方程了
- 所以現在 我們考慮新的M
- 它關於y的偏導
- 應該是等於這部分
- 關於x的偏導
- 那它關於y的偏導是什麽呢？
- 好吧 如果我們關於y求偏導的話
- μ(x)作爲只關於x的函數
- 它和y無關
- 把它看作常數 對吧？
- 關於y求偏導
- x看作常數
- 只關於x的函數都可以看作常數
- 這部分關於y的偏導
- 等於μ(x)
- 乘以3x+2y
- 這是這部分關於y的偏導
- 這部分關於x的偏導呢？
- 好吧 這裡我們用一下乘法法則
- 我們對第一個表達式求
- 關於x的偏導
- μ(x)不再是一個常數啦
- 因爲我們是在求關於x的偏導
- 所以 μ(x)關於x求偏導
- 好吧 是μ'(x) 不是u哈
- 是μ'(x)
- μ是一個希臘字母
- 讀音是 mu~
- 看上去像是u
- μ'(x)乘以第二個式子
- 是x2+xy
- 加上第一個式子
- 這是乘法法則 μ(x)
- 乘以第二個式子
- 關於x的導數
- 乘以。。。這行寫不下了 2x+y
- 對於新的方程
- 兩邊乘以μ(x)之後的
- 爲了使得它是恰當的
- 這兩個必須是相等的
- 恰當的前提是這樣的
- 我們說 這是恰當的
- 下面 我們來求μ
- 看看能不能做到
- 看看 這邊的話
- 是μ(x)(3x+2y)
- 讓我們兩邊都減去這個
- 減去μ(x)(2x+y)
- 可以看到
- 這些微分方程問題
- 會很繁瑣
- 涉及很多的代數內容
- 它等於。。。還剩下什麽呢？
- 用黃色寫吧
- 它等於。。。 又用地兒太多了
- 在下面一點寫
- 它等於。。。只有這項了
- 它等於μ(x)(x2+xy)
- 看看 如果把μ(x)提出去
- 得到 μ(x)(3x+2y-2x-y)
- 等於μ'(x)
- 即μ關於x的導數
- 乘以x2+xy
- 現在 化簡一下
- 得到μ(x)乘以。。。
- 這是什麽？ 3x-2x=x
- 2y-y。。。 所以是x+y 等於。。。
- 我把這邊化簡了
- 它等於μ'(x)
- 我們把x提出去
- 這樣做的原因是
- 因爲把x提出去之後
- 就得到了x+y
- 所以 這是μ'(x)x(x+y)
- x乘以(x+y)
- 我這樣做的原因
- 是兩邊都有x+y了
- 也就是兩邊可以除以它了
- 如果兩邊除以(x+y)
- 前提是它不等於0
- 這麽做之後 事情簡單多了
- 得到μ(x)=μ'(x)x
- 現在 和我腦子想得一樣
- 重寫一下式子
- 從算符角度出發
- 重寫μ'(x)
- 爲dμ/dx
- 寫下來吧
- 所以 μ(x)等於。。。
- μ關於x的導數 乘以x
- 這是一個可隔離變量
- 微分方程
- 這是大問題中的
- 小問題
- 我們是在求
- 這裡的積分因子
- 兩邊除以x
- 得到μ/x
- 現在就是可隔離變量方程了
- 它等於dμ/dx
- 然後兩邊除以μ(x)
- 得到1/x=1/μ
- 它是μ(x) 簡寫爲1/μ了
- 乘上dμ/dx
- 水平地寫下去吧
- 兩邊乘以dx
- 得到dx/x=dμ/μ
- 現在 你可以對兩邊積分了
- 得到的是
- x絕對值的自然對數
- 等於μ絕對值的
- 自然對數
- 如此如此。。。
- 但這看上去更清楚些
- x=μ 或者μ=x 對吧？
- 它們是一樣的
- 如果你看看這方程兩邊
- 可以把x換成μ
- 它就變成另一邊了
- 因此 這告訴我們
- μ(x)等於x
- 或者μ=x
- 我們有了積分因子
- 如果你想的話
- 你也可以對兩邊求不定積分
- 得出自然對數
- 那樣那樣。。。
- 你還是會得到一樣的答案
- 但一眼看上去 僅憑觀察
- 也能知道μ=x
- 因爲方程兩邊
- 是一模一樣的
- 無論怎樣 我們得到了積分因子
- 但我超時了
- 在下一影片中
- 我們會用到這個積分因子
- 把它乘到微分方程兩邊
- 使其恰當
- 然後像解恰當方程那樣去做
- 下節課見
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