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Integrating factors 2: Now that we've made the equation exact, let's solve it!
相關課程
- 在上一個影片裏面
- 我們有這個微分方程
- 它至少看上去是恰當的
- 但當我們求這個的
- 偏導數時
- 也就是My
- 它和
- 這個的偏導數
- 也就是正合微分方程世界的Nx 是不一樣的
- My和Nx是不相等的
- 我們說 哎 它不是恰當的
- 但我們說
- 如果方程兩邊
- 都乘以某函數 那會是恰當的嗎？
- 我們稱那爲μ
- 上一個影片裏面 我們求出了μ
- 好吧
- 如果方程兩邊都乘以μ(x)
- 也就是x
- 就使得這是一個恰當方程了
- 要指出的是
- 也可能存在某個y的函數
- 乘上它之後
- 也可以是恰當的
- 也可能存在x、y的某函數
- 使得方程恰當
- 不過我們的目標是使它是恰當的
- 不管我們取哪個
- 積分因子
- 我們稱那是積分因子
- 我們取的是積分因子
- 無論如何 來試試吧
- 我們來解問題吧
- 方程兩邊都乘以μ
- μ(x)是x
- 兩邊乘以x
- 看看 這項乘以x的話
- 得到3x2y+xy2
- 我們用x乘以這些項了
- 加上x3y+x2y
- y' 等於0
- 好吧 首先
- 爲了檢驗一下
- 我們要確定這個一個恰當方程
- 這個式子的偏導數
- 或者說這個子函數 關於y的
- 好 是3x2
- 這對於y來說 是一個常數
- 加上2xy
- 它是這個式子關於y的偏導
- 現在 來求這個關於x的偏導
- 得到3x2+2xy
- 我們得到了
- 這部分關於y的偏導數
- 是等於這部分關於x的偏導
- 現在我們的方程是恰當的
- 它的解和它是一樣的
- 我們所做的
- 只是在方程兩邊都乘上了x
- 這並不會
- 改變方程的解
- 或者說 微分方程的解
- 它是恰當的
- 來解它
- 我們要怎麽做呢？
- 我們說 好吧 因爲它是恰當的
- 我們知道 存在函數Ψ
- Ψ關於x的偏導數
- 等於這裡的這個式子
- 它是3x2y+xy2
- 我們對兩邊求
- 關於x的積分
- 得到Ψ等於什麽呢？
- 等於x3y
- 加上1/2 x2y2
- 當然 Ψ是x、y的一個函數
- 當你對它求關於x的偏導時
- 那樣做的話
- 你可能會丟失
- 關於y的函數
- 所以 加上的不是C
- 應該是我們丟失的、y的一個函數
- 求不定積分時 要把它加回去
- 這是我們的Ψ
- 但我們還沒有完全搞定
- 因爲我們還要
- 求出關於y的這個函數
- 我們求它的辦法
- 要用到
- 這部分關於y的偏導數
- 等於這個
- 來建立等式
- 這個式子關於y的偏導數
- 是什麽呢？
- 我可以寫成
- Ψ關於y的偏導
- 等於x3 加上2<i>1/2</i>
- 也就是x2y+h'(y)
- 這是僅和y相關的函數
- 和y相關的
- 然後它必須等於新N
- 或者說
- 乘以積分因子之後的N
- 所以 它是等於這裡的這個
- 這個 希望大家能明白吧
- 它應該等於
- x3加上x2y
- 很有趣吧
- 這邊的這些也在這邊
- 所以 兩邊減去這兩項
- x3 x的立方
- x2y x的平方乘y
- 然後就剩下h'(y)=0了
- 你也可以說h(y)等於某常數
- 不包括y 和y無關
- 只剩下常數了
- 爲了我們的目標
- 我們可以說 Ψ是這個
- 因爲這是常數
- 我們是會求不定積分的
- 右邊也會有常數
- 在之前的影片中
- 常數都會被合並
- 所以 我們可以說這就是Ψ
- 我們知道這個微分方程
- 這裡 可以重寫成
- Ψ關於x的導數
- 不是偏導了
- 因爲用了連鎖律
- Ψ關於x的導數是0
- 如果你求Ψ關於x的導數
- 它應該等於這一整個
- 用偏導下的連鎖律得到
- 我們求出了Ψ
- 所以可以寫。。。 其實不是必須的
- 我們可以用到這個事實
- 如果對兩邊作積分
- 就得到了微分方程的解
- 是Ψ=C
- 我只是對兩邊求了不定積分
- 所以 微分方程的解
- 是Ψ=C
- 因此 Ψ
- 等於x3y+1/2x2y2
- 我們也可以在這裡加上C
- 但我們知道 解是Ψ=C
- 所以我們還是把C寫這吧
- 也可以在這寫一個C
- 但這也有一個C
- 又有另一個C
- 就可以在兩邊減去它了
- 它們又會合並爲另外一個C了
- 但不管怎樣 我們解出來了
- 我們有一個微分方程
- 至少表面上看是恰當的
- 看上去是 但是
- 但我們檢驗它的恰當性時 發現它不是
- 但我們乘上了積分因子
- 在上一個影片中
- 我們解出了
- 一個可能的積分因子
- 也就是兩邊都乘以x
- 那樣做之後 檢驗的話
- 比珍珠還真 它就恰當了
- 然後 既然它是恰當的
- 我們知道 存在一個Ψ
- Ψ關於x的導數
- 是等於這裡的整個式子
- 所以我們可以把微分方程重寫成這樣
- 我們知道解是Ψ=C
- 爲了解出Ψ
- 好吧 Ψ關於x的偏導數
- 是這個
- 求兩邊的不定積分
- 會有一個h(y) 它不是常數
- 是y的函數
- 它會丟失
- 在我們求關於x的偏導時
- 爲了得出結果 我們取這個式子
- 求它關於y的偏導
- 讓它等於N
- 這樣做之後
- 我們求出了
- h(y)其實是個常數
- 我們可以寫
- 也可以加上C
- 把它稱作C1或者別的
- 但我們知道
- 原微分方程的解
- 是Ψ=C
- 所以我們的微分方程
- 是Ψ=x3y+1/2 x2y2
- 等於C
- 可以在這加上C1
- 然後兩邊減去它
- 但我想
- 我都說了這麽多次了 應該也懂了吧
- 如果h(y)=C的話
- 就可以忽略它了
- 無論怎樣 做得足夠多了
- 下個影片再見吧
- 現在你們知道了不少關於積分因子的知識
- 再見~
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