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Undetermined Coefficients 3 : Another example where the nonhomogeneous part is a polynomial
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- 我們再來做一個解非齊次
- 常係數線性微分方程的例子
- 方程的左邊依舊是
- 我們一直在做的那個
- y二階導
- -3y'-4y 等於。。。
- 現在右邊不再是指數函數
- 抑或三角函數
- 我們來看一個簡單的
- 嗯 就來個x2吧
- 這是一個多項式 對吧？
- 你知道怎麽求出齊次方程的通解了
- 如果這裡是0的話
- 所以我們只關注
- 如何求解特解
- 然後我們把它加上齊次方程的通解
- 就求得方程的解
- 那麽特解應該怎麽去猜呢？
- 額 當這頭有指數的時候
- 我們猜測解是一個指數函數
- 當我們有三角函數的時候
- 我們猜測我們的解是三角函數
- 現在我們有一個多項式項
- 使微分方程成爲一個非齊次方程
- 我們猜測特解是一個多項式
- 這個猜測是很合理的
- 如果你取一個二次多項式
- 取它的導數加加減減
- 你可以預期
- 能得到另外一個二階多項式
- 讓我們猜測解爲 Ax2+Bx+C
- 它的二階導數是什麽呢？
- 它的二階[一階]導數是 2Ax + B
- 抱歉 這是一階導數
- 二階導數應該是2A
- 我們可以把它代回到原方程
- 我們得到二階導數
- 2A 減去三倍的一階導數
- -3A 噢不 抱歉
- 減去三倍的這個
- 所以-6Ax-3B -4倍的原函數
- 即-4Ax2-4Bx-4C
- 也就是四倍的整個東西
- 這個等於 4x2
- 我可以把x2合並一下
- 還有x和常數項
- 然後我們可以試著把常數解出來
- 我們看看
- 我這兒有一個平方項
- 是-4Ax2
- x項係數是什麽呢？
- 我有-6Ax -4Bx
- 我們說是(-6A-4B)x
- 我把係數加一下
- 最後我們得到常數項
- 即2A-3B-4C
- 所有的這些等於4x2
- 如何求解A、B、C？
- 嗯 不管左邊的x2係數長什麽樣
- 它應該等於4
- 不管x係數合起來是什麽
- 它應該等於0 對吧？
- 因爲你可以把這邊看做+0x 對吧？
- 然後你還可以說 加上常數0
- 所以常數加起來也要等於0
- 我們來求一下
- 首先我們求一下平方項
- 即-4A = 4
- 這告訴我們 A = -1
- 妥了
- 然後是x項
- -6A-4B 應該等於 0
- 對吧？
- 我們寫一下
- 我們知道A是什麽了 代入就是
- 即-6A (-6)<i>(-1)</i>
- 即6-4B =0
- 我們得到 4B
- 我把4B移過去 兩邊換一下
- 4B等於6
- B等於... 6/4 = 3/2
- 最後常數項爲0
- 我們解一下
- 2A 即-2
- -3B的話
- 即-3倍的這個
- -9/2-4C 等於0
- 我們看看
- 我不想粗心搞錯
- 這是 -4-9/2 對吧？
- 是-4/2-9/2
- 我們可以把4C移過去
- 這個等於4C
- -4-9等於多少呢？
- 等於-13/2
- -13/2 等於4C
- 兩邊除以4
- 得到 C = -13/8
- 我想應該沒錯吧
- 如果沒算錯的話 已經得到特解了
- 我把整個解寫一下
- 所以
- 這是一塊很贊的條形地塊哈
- 我們把解寫一下
- 我們的解等於
- 特解Ax2
- 也就是-x2
- Ax2加上Bx。。。 即3/2x 加上C即-13/8
- 這就是特解
- 我們解出了A、B、C
- 我們確定了待定係數
- 現在我們想要求通解
- 只需加上齊次方程的通解就行了
- 通解是什麽
- y''-3y'-4y 等於0
- 我們已經解過N次了
- 我們知道齊次方程的通解是
- C1e^(4x) 加上C2e^(-x)
- 對吧？
- 我們寫出特征方程
- 即r2-3r-4
- 我們能得到什麽？
- 我們得到(r - 4)(r + 1) = 0
- 通過因式分解求得兩個根-1和4
- 過程略
- 所以如果這是齊次方程的通解的話
- 這又是非齊次方程的
- 一個特解
- 那麽非齊次方程的通解
- 就等於兩者之和
- 我們把它加起來
- 加上C1e^(4x) +C2e^(-x)
- 解完
- 這應該不是特別痛苦
- 最痛苦的地方是要確認
- 算數的時候沒有弄錯
- 但我們通過用一個相當直接的
- 算術性很強的方法
- 我們能夠求出這個
- 二階常係數線性非齊性微分方程的
- 一個看起來很複雜的解
- 下個影片見