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相關課程
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相關課程
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- 這是第一個視頻課程
- 是微分方程課程播放列表中的第一個
- 我曾提及這個主題。當時我們講的是諧波運動
- 我有可能
- 在其他主題中提到過“微分方程”
- 但現在，因為你們要求，我們會做一個
- 專門關於微分方程的完整播放列表
- 這是一個相當有用的東西
- 因為微分方程，會出現在許多
- 不同的領域
- 有個開始讀經濟學博士生要求我做這個主題
- 有些開始學習物理學的人要求我做這個
- 還有些開始學習工程學的人
- 要求我做這個主題
- 所以這是一個有著廣泛應用的學習領域
- 因此，讓我們開始吧
- 以免我持續說些無用的玩藝
- 所以微分方程
- 所以第一個問題是：什麼是微分方程？
- 你知道什麼是方程
- 什麼是微分方程？
- 那麼，微分方程是一個有關
- 一個未知函數及其導數的方程
- 所以，這是什麼意思呢？
- 那麼，比如說
- y' + y = x + 3
- 這裏，未知函數是y
- 我們也可以寫為y(x)，或者寫成 dy/dx
- y相對x的導數
- 加上這個未知函數y等於x+3
- 我們也可以寫成f'(x)+f(x)
- = x+3
- 所有這些表達方式都是描寫
- 同一個微分方程
- 有趣的是
- 如何從普通方程出發
- 讓我寫出一個普通方程
- 提醒你關於它們的樣子
- 因此，一個普通方程，如果只有一個變數
- 看起來像這樣
- 比如，x^2 + cosx
- = √x
- 上面是我現編的
- 這裏，方程的解是一個數字
- 或者是一系列數字
- 有時不止一個數字，對嗎？
- 如果你有一個多項式，你可以有一個以上的
- 滿足這個方程的x值。
- 這裏，一個微分方程的解
- 是一個函數
- 我們的目標是要解出，x的什麼函數，在這裏我寫成 f(x)
- 但是x的什麼函數
- 滿足這種關係或滿足這個等式
- 因此，讓我告訴你我的意思
- 我有我大學時的微分方程課本
- 所以我打算用它作為下面的參考
- 因此，讓我們說 - 我正在寫出來
- 看，他們有一個微分方程
- 我還不能向你展示如何解這個題
- 因為我們必須先學習一些技巧
- 但我認為現在正好開始讓你瞭解什麼是微分方程
- 以便你不會
- 與傳統的方程混淆
- 因此，他們有這個微分方程
- 二階導數 y"
- 相對於x的二階導數y" 加上
- 2乘以相對於x的一階導數y‘，再減去3y
- 等於0: y“+ 2y' -3y = 0
- 他們給我們這些解，以及他們想要我們做的是
- 展示這些是解
- 我覺得這裏是個好地方讓我們
- 瞭解微分方程是什麼
- 以及什麼是解
- 所以他們說: y1(x) = e^(-3x) 【這裏^是指數符號】
- 因此他們說
- 這是這個微分方程的一個解
- 因此，讓我告訴你，這是
- 那麼，這裏好像講得有點快
- 我先寫y1
- 什麼是y1‘ ？
- 什麼是這個的導數？
- 好，只做鏈式法則
- 整個函數的相對於x的導數的這一部分
- 就是 e^(-3x)
- 然後你算出裏面部分的導數
- 因此，那就是 e^(-3x)
- 外面的導數
- 裏面的導數是 -3
- y1的二階導數等於
- 我們取這個函數的導數，它正好等於
- +9e^(-3x): +9 = -3乘以-3
- 現在，讓我們驗證，如果我們替代y1和它的導數
- 進入到這個微分方程
- 那麼它是成立的
- 所以y”，就是這個
- 因此，我們得到9e^(-3x)+2y'
- + 2y'
- 那麼，這就是y'
- 所以2(-3e^(-3x)) 加上- 哦對不起，
- 減去3y: -3y
- 好，y是這樣
- 所以 -3e^(-3x)
- 那麼，它等於什麼？
- 我們得到9e^(-3x)，再減去6e^(-3x)
- 減去3e^(-3x)
- 那麼，它等於什麼？
- 我們有9倍的某某減去 6倍的某某
- 再減去3倍的某某
- 結果等於0
- 0什麼不要緊。
- 因此，等於0。
- 因此，我們驗證了，這個函數，y1=e^(-3x)
- 它滿足這個微分方程
- 這裏有一些有趣的事情
- 你在普通方程碰到過這個
- 就是這可能不是唯一的解
- 事實上，我們將在以後的視頻中學習
- 往往解不只一個函數
- 它可以是一類函數
- 通常他們都是相同的函數
- 只是常數不一樣
- 但我一會要告訴你
- 這裏，它們實際上表明我們還有另一種解
- 這也可以工作
- 我們可以嘗試x的方程
- y2(x) = e^x
- 我們可以驗證，對不？
- 什麼是e^x的第一次和第二次導數？
- 那麼，他們就是e^x
- y2二階導數是
- e^x加上2乘以一階導數是什麼？
- 那麼e^x的一階導數仍然是e^x
- 2e^x，再減去3乘以函數
- -3e^x
- 那麼，1+2-3又是等於0
- 所以，這也是這個微分方程的一個解
- 現在，在我們繼續之前，在下一個視頻，我將向你展示一些
- 相當簡單的微分方程
- 的解決過程
- 我認為現在這是一個很好的時間
- 希望你掌握了微分方程是什麼
- 以及它的解是什麼
- 它的解不是一個數字，它的解決方案
- 是一個函數，或一系列函數
- 或一類函數
- 這是一個很好的時間
- 來瞭解一下術語
- 這裏有兩個大分類。
- 實際上，有第一個大類
- 常微分方程和偏微分方程
- 我覺得您可能已經猜到是什麼意思
- 常微分方程就是我上面寫的
- 這是一個變數相對另一個變數
- 或一個函數相對於x，及其導數
- 偏微分方程，我們將後面介入
- 這較為複雜
- 這就是當一個函數可以
- 多個變數的函數
- 你可以有相對於x的導數
- 以及相對於y和z的函數
- 我們現在不用管這個
- 如果你的函數及其導數
- 是一個變數的函數，那麼，我們正在處理
- 一個常微分方程
- 這就是此播放列表將涉及的
- 常微分方程
- 在常微分方程中
- 有兩種方式進行分類
- 它們有點重疊
- 你有你的階
- 所以我的微分方程的階是什麼？
- 然後，你有這樣的分類
- 是線性還是非線性的
- 我認為弄清這一點的最好辦法是
- 寫下一些例子
- 因此，讓我寫下來。
- 我的來源是
- 我的大學微分方程課本
- x平方乘以y對於x的二階導數
- + x乘以y對於x的一階導數
- + 2y = sinx
- 這裏的第一個問題是：階是什麼？
- 所謂階就是
- 你方程中最高的導數
- 本函數的最高導數
- 對不對？
- 這個方程的解將是y(x)
- 滿足這個等式
- 階是該函數的最高導數
- 那麼，這裏最高的導數是二階導數
- 因此，階為2
- 或者，正如你可以叫它
- 二階常微分方程
- 現在的第二件事情，我們必須弄清楚：
- 這是一個線性還是非線性微分方程？
- 所以微分方程是線性的，如果所有的函數
- 及其導數
- 是線性的
- 我這個是什麼意思？
- 我的意思是你沒有y平方
- 或者你沒有(dy/dx)平方
- 或你沒有y乘以y的二階導數
- 所以這個例子中，我只寫到這裏
- 這是一個二階線性方程，因為你有二階導數
- 一階導數，和y，
- 但他們不是乘以該函數及其導數
- 現在，如果這個等式 - 如果我改寫為x平方
- 乘以y的二階導數 d^2y/dx^2
- 等於sinx，比如說，我取它的平方
- 現在，突然，我有了一個非線性
- 微分方程。
- 這是非線性的。
- 這是線性的。
- 因為平方，我乘以y的二階導數
- 乘以它自己
- 非線性方程的另一個例子是
- y乘以y的二階導數等於sin(x)
- y(x) y"(x) = sin (x)
- 這也是非線性的
- 因為我用該函數乘以它的二階導數
- 注意在這裏，我乘以二階導數
- 用的是獨立變數x
- x乘以二階導數
- 可是，我的時間到了
- 希望這個課程給了你一個
- 關於微分方程的簡單概括
- 在接下來的視頻中，我們將開始解這些方程
- 再見