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- 讓我們再做幾個非齊次方程
- 還是這個問題
- 我們只把右邊變一變
- 因爲我想大家已經基本上
- 會解齊次方程了
- 所以 還是上個影片裏那一題
- y'' - 3y' - 4y。。。
- y'' - 3y' - 4y。。。
- 然後上一個例子裏
- 非齊次部分是 3e^(2x)
- 但是指數函數 我們已經玩兒厭了
- 我們來搞個三角函數吧
- 我們說 它等於2sin x
- 那麽 第一步就是我們一直在做的
- 首先解出齊次方程
- 左邊這一堆等於0
- 我們通過特征方程求解
- r2-3r-4 等於0
- 求得解 r = 4
- 和r = -1
- 然後求得通解
- 在上一個影片裏已經做過
- 我們得到裏齊次方程的通解
- 或者我們叫它齊次解吧
- y齊次解
- 我們得到 C1e^(4x)+C2e^(-x)
- 那就解完了 不錯
- 但要求得
- 非齊次方程的通解
- 我要取非齊次方程的一個解
- 如果這塊等於0的話 然後再加上
- 一個滿足此方程的特解
- 這個解滿足。。。 如果取解函數的二階導數
- 減去3倍的一階導數 減去4倍的原函數
- 正好得到 2sin x
- 這裡我們再次運用未定係數法
- 什麽是待定係數呢？ 自己考慮
- 是什麽函數
- 當我取它的二階導數、一階導數
- 乘上幾倍 加加減減
- 可以得到 sin x
- 其實 有兩個函數在取一階和二階導數時
- 可以得到 sin x
- 即 sin x 和 cos x
- 這是一個很好的猜測
- 這正是我們在用未定係數法的時候
- 所做的事情
- 我們先猜出特解的形式
- 然後求解待定係數
- 我們說我們猜解 y等於。。。
- 我也不知道 大概是幾倍的 sin x
- 如果右邊是 sin 2x的話
- 我這裡就猜 Asin 2x
- 因爲我希望保持。。。
- 不管這塊怎麽算。。。
- sin 2x項
- 或者可能是cos 2x項仍然存在
- 如果這是sin 2x的話
- 我做什麽運算 都動不了這個sin x
- 或者說不能通過平凡的操作
- 讓sin x變成別的東西
- 最後它還會留著個sin 2x
- 所以不管這裡是什麽 我就要它
- +B 也就是某待定常數倍的cos x
- 再次注意到 這是sin 2x
- 所以我想要cos 2x
- 我們來求出它的一階和二階導數
- 它的一階導數 y'
- 等於Acos x。。。
- cos的導數是-sin 所以-Bsin x
- 然後二階導數
- 我寫在這兒
- 二階導數等於什麽呢？
- cos的導數是 -sin
- 即-Asin x - Bcos x
- 我想你們應該有所發覺
- 在多數微分方程問題中 最困難的事情
- 就是不要粗心犯錯
- 裏面有大量的運算
- 和相當基本的微積分
- 真正的技巧就是不要粗心犯錯
- 每次我說這話的時候 我常常就弄錯點什麽
- 所以我現在加倍注意
- 好了 我們把這些式子代回到
- 非齊次方程裏去
- 看看我能否解出 A和B
- 二階導數是這個
- 我重寫一下
- 讓你們看清我在做什麽
- 我想要取二階導數y''
- 也就是 Asin x - Bcos x
- 我準備
- 加 -3倍的一階導數
- 我把sin寫在sin下面
- cos寫在cos下面
- -3倍的這個
- sin項就是 我們看看
- 等於3Bsin x - 3倍的這個
- 這裡是 -3Acos x
- 然後減去4倍的原函數
- 即 -4Asin x
- 對吧？
- -4倍的這個
- -4倍的這個
- 即-4Bcos x
- 當我對這個求和的時候
- 這正好是方程的左邊
- 當我對這個求和的時候
- 它等於2sin x
- 我可以把這些項一行寫完的
- 不過那樣看起來會更難懂
- 這樣寫比較方便把所有的
- sin x和cos x相加
- 所以 如果我把sin x的所有係數相加
- 我得到 -A + 3B - 4A
- 那大概是 (-5A + 3B)sin x +...
- 這個的係數又是什麽呢？
- 我有-B 又有另一項-4B
- 所以是-5B 然後-3A
- 所以是 (-3A-5B)cos x
- cos x擠在這兒吧
- 那麽 如何解出A和B呢？
- 現在 我有-5A+3B 一定等於
- sin x 前面的這個係數
- 即 -5A+3B = 2
- 然後 -3A-5B
- 是cos x的係數
- 雖然我這兒把cos x寫得有點擠
- 對吧？
- 所以它必須等於方程右端
- cos x的係數 這個恒成立
- 嗯 右端cos x的係數
- 是0诶
- 那就建立起了關於兩個未知數的
- 兩個方程
- 一次方程組
- 我們有 -5A+3B = 2
- 和 -3A-5B = 0
- 我們看看能不能化簡一下
- 我們看看
- 這是兩個未知數的方程組 兩個方程
- 如果我把上式乘上5/3 沒錯吧？
- 那我就乘上5/3吧
- 我得到 -25/3A + 5B
- ... =5/3倍的這個
- 5/3<i>2等於10/3</i>
- 下面的方程是
- -3A-5B 等於0
- 我們把兩個式子相加
- 我得到10/3等於。。。 這些抵消了
- 那就是 -25/3-9/3A = 10/3
- 搞得有點亂哈 我不太喜歡
- 不過咱們繼續前進
- 也就是 -25-9
- -25-9等於多少？
- 那就是34
- 我們得到 (34/3)A = 10/3
- 兩邊乘以3
- 再除以34
- A=10/34 等於5/17
- 很好 這個數好醜
- 5/17 現在我們可以解B了
- 我們看看
- -3A哈
- 3(5/17)- 5B 等於0
- 那是什麽？
- 是-15/17 = 5B
- 我把這個移到右邊
- 然後兩邊除以 5
- 噢 你發現沒？
- 我發現我這裡搞錯了
- 是-25-9
- 這裡是-34/3
- 所以-34A = 10
- 即A = -10/34 = -5/17
- 所以減去3倍 -5/17
- 所以 15/17 = 5B 對吧？
- 然後我們得到 B=3/17
- 真驚悚
- 注意到 這裡的難點是不要搞忘了
- sin項的負號
- 無論如何 我們現在得到了方程的特解
- 我還是用個沒那麽惡心的顏色吧
- 雖然這個可能也很凶殘
- 特解爲A... -5/17sin x...
- 對吧？
- 那是sin x的係數
- 加上B 即3/17cos x
- 如果我們看一下原來的問題
- 這個非齊次方程的
- 通解應該是這樣的
- 對應的齊次方程的通解
- 我們已經花了很多個影片講解了
- 加上我們運用未定係數法解出的
- 方程的特解
- 如果你取齊次通解加特解
- 就搞定了
- 沒時間啦
- 下個影片見