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相關課程
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- 希望大家都已經對微分方程有所了解。
- 所以，現在讓我們來嘗試去解決一些。
- 我要介紹給大家的第一種微分方程叫做
- 向你介紹，他們叫做隔離式微分方程。
- 我認爲你會發現的是我們其實學的
- 並不是什麽新的知識。
- 只是利用了你第一年微積分中學到的求導和求積分
- 的技巧，你就可以解決一個隔離式微分方程。
- 我們之所以稱之爲隔離式是因爲
- 我們實際上可以隔離出 x 項和 y 項，然後
- 分別對他們進行積分以獲得
- 微分方程的最終解。
- 顧名思義，這就是可隔離的。
- 隔離式微分方程。
- 讓我們做幾個例子，你就會明白了。
- 這些題目往往更鍛煉我們對代數的掌握，
- 而不是什麽其他的新東西。
- 第一個隔離式微分方程是：dy
- 除以 dx 等於 x 平方除以的 1 減 y 平方的差
- 其實，現在是時候來複習一下我們的
- 微分方程術語。
- 所以首先，什麽叫做微分方程
- 的階數？
- 嗯，這個等式中最高次的導數就是一階導數，
- 所以這個等式的階數是1。
- 所以等式是一階的。
- 這也是常微分方程，因爲等式中只有普通的求導，
- 而沒有偏導數。
- 然後，這個方程是線性的還是非線性？
- 嗯，首先你會說，好吧，我覺得，這看起來是線性。
- 我沒有用導數項乘以
- 任何項。
- 但是，如果你仔細看一眼，你會
- 發現一個有趣的事情。
- 首先，等式中有 y 平方。
- y 在這裡是因變量。
- y 是 x 的函數。
- 所以 y 平方使得這個等式非線形。
- 即使這只是一個 y ，如果你在等式兩邊同時乘以 1-y，
- 雙方這個方程倍 1 減去 y，並獲得
- 我在之前等式中展示過的一種形式，我們將得到
- 1 減去 y 平方。
- 這是實際上我們無論如何都要做的
- 第一步，所以我會寫下來。
- 所以，如果我在等式兩邊同時乘以
- 1 減去 y 平方，我們得到 1 減去 y 平方乘以 dy dx
- 等於 x 平方。
- 然後你可以看到，即使這裡不是
- y平方，你也會得到 y 乘以 dy dx，
- 這樣的等式同樣是非線性的，因爲
- 我們用因變量乘以
- 導數項本身。
- 因此，這也使得此方程爲非線性的。
- 但不管怎麽說，我們回到問題上。
- 這就是第一步。
- 我將等式兩邊同時乘以 1 減去 y 平方
- 而我們的最終目的是將 y 和 x 隔離出來，
- 然後對兩邊同時進行積分。
- 我們已經很接近了。
- 所以現在我想做的就是在等式兩邊
- 同時乘以 dx，所以我在這裡有 dx，
- 把這裡的 dx 消除掉。
- 我把它寫在這裡，我不想浪費太多空間。
- 所以我們得到 1 減去 y 平方 dy 等於，x 平方 dx。
- 我已經將兩個變量和微分符號
- 隔離了出來。
- 我做的僅僅是將等式兩邊
- 同時乘以 dx。
- 現在，我只需要對兩邊積分。
- 我們來試試。
- 無論你做等式的一側進行什麽操作，你都需要
- 對另一邊進行一樣的操作。
- 這適用於普通方程以及
- 微分方程。
- 所以我們將兩邊積分。
- 將這個式子對 y 進行積分，我們得到什麽？
- 讓我們看看。
- 1 的積分是 y，y 平方的積分是
- 負 y 的三次方除以 3。
- 我在這裡象征性的寫下 +C
- 但其實你並不需要在兩側同時
- 寫 +C。
- 因爲 y，我在這裡寫下 加常數（+C）
- 對 y 的積分。
- 你永遠不會在微積分課上看到這個，但我
- 想說明一下。
- 我只是想說 +C 從來沒有
- 在我們傳統的求反導數過程中
- 消除。
- 這一項的積分是什麽？
- 是 x 的三次方除以 3。
- 這裡同樣會出現 +C
- 因爲變量 x。
- 現在，我之所以把這一項標記爲紅色，
- 是因爲我們真的只需要在
- 等式的一側寫下 +C。
- 如果大家不是特別懂爲什麽，我們從等式兩邊
- 同時減去 Cy， 我們會得到 y 減去 -- 我們往下一點，
- 我把 y 寫的像 g。
- y 減去 y 的三次方除以 3 等於 x 的三次方
- 除以 3 加上我們對 x 求反導數時得到的常數
- 減去我們對 y 求反導數時
- 的常數。
- 但這兩個常量，它們只是常數。
- 我的意思是，我們不知道它們是什麽。
- 它們可以是任意常數。
- 所以我們可以只寫一個 C。
- 所以你可能只是 — — 你必須有常數，但是
- 常數不一定要同時出現在等式的兩邊，因爲
- 它們都是任意的。
- Cx 減去 Cy，嗯，那是仍只是另一個常數。
- 然後如果我們想要簡化這個方程，
- 我們可以將兩邊同時乘以 3，只是
- 使它更好看一點。
- 我們得到 3y 減去 y 的三次方等於 x 的三次方
- 加上 — — 好吧，我可以在這裡寫 3C。
- 但再說一次，C 是一個任意的常數。
- 所以 3 倍任意常數，只是另一個
- 任意常數。
- 所以我在這裡寫下 C。
- 這就行了。
- 我們已經解決了這個微分方程。
- 雖然現在還是隱函數的形式，但是
- 我們很難將它解出來。
- 我們可以只把 C 放在一側，這樣答案就是
- 3y 減去 y 的三次方減去 x 的三次方等於 C。
- 有人可能更喜歡這種形式。
- 但是這是最後的答案。
- 注意，方程的解，就像我們求反導數一樣，
- 在這種情況下，
- 最後的解是一組隱函數。
- 爲什麽說它是一組解呢？
- 因爲我們有個常量。
- 我們每選擇一個常量，
- 就會産生一個新的解。
- 但是所有的常數都滿足我們
- 原來的微分方程。
- 這是最初的微分方程。
- 如果你想要求出常數，必須
- 有人給你起始情況。
- 必須有人說，嗯，當 x 是 2 時，y 是 3。
- 然後你就可以解出 C。
- 好吧，讓我們做一個給我們起始情況的
- 微分方程。
- 這裡真的有點亂 — — 我重新寫一版。
- 消除圖像，不同顏色，所以我現在有很大的空間。
- y 對 x 的一階導數
- 等於 3x 的平方加上 4x 加 2 的和除以
- 2 乘 y 減 1。
- 這是括號，而不是絕對值。
- 他們給我們的初步條件。
- y 在 x 等於 0 時等於 -1。
- 所以，一旦我們解出了此微分方程，
- 我們會得到一個可隔離微分方程，然後我們
- 可以使用此起始情況，當 x 爲 0 時，y 是
- -1 來找出該常數。
- 所以我們先對這個等式進行隔離。
- 兩邊同時乘以 2 乘 y 減 1的差。
- 我們得到 2 乘以 y 減 1 乘以 dy dx 等於
- 3x 的平方加上 4x 加 2。
- 兩邊再同時乘以 dx。
- 這真的只是一個代數練習。
- 我可以把括號展開，得到 2y 減去 2，
- 然後只剩下 dy。
- 兩邊同時乘 dx，得到 3 倍 x 的平方
- 加上 4x 加 2 dx。
- 我已經將方程隔離了。
- 把自變量和因變量以及求導符號
- 隔離了出來，因此現在我開始
- 可以進行積分。
- 我用紅色來寫積分。
- 什麽是此表達式對y的
- 反導數？
- 我們看看。
- 是 y 平方減去 2y。
- 我不會在這寫+C，我會在等式
- 的右邊加上。
- 等於 3 倍 x 的平方。
- 這邊的反導數是 x 的三次方，加上 2x 的平方，加上
- 2x 加 C。
- 這裡的 C 同時代表了等式兩邊的常數，
- 希望你明白從上一個例子裏理解了
- 我這樣寫的原因。
- 然後我們可以用 y 當 x 等於 0 時等於 -1 這個起始情況
- 來解出常數C。
- 我們看看。
- 當 x 爲 0 時，y 是負 1。
- 現在，讓我們把 y 設爲負 1，所以我們得到負 1 的平方
- 減去 2 乘負 1，這時 y 的值
- 是當 x 等於 0時的值。
- 所以當 x 等於 0 時，這是 0 到三次方加
- 2 乘以 0 的平方加 2 倍的 0 加 C。
- 所以這是相當簡單的。
- 所有的這些，都是 0。
- 看看，-1的平方是 1。
- 減去 2 乘以 -1，也就是加2， 等於C。
- 我們得到 C 等於 3。
- 所以，得到的精確隱方程是這個微分方程的最終解
- — — 記住，它不是再是一組解，
- 因爲題目給了我們一個初始的條件 — — 最終解是
- y 平方減去 2y 等於 x 的三次方加上 2x 平方
- 加上 2x 加 3。
- 我們想辦法得到了C的解。
- 其實，如果需要，我們可以把這個解通過開方
- 寫成顯方程的形式。
- 剩下的僅僅是代數了。
- 你就完成了這道題了。
- 這是隱函數的形式。
- 如果你想要得到顯函數的形式，可以在等式兩邊
- 同時加 1。
- 我只是想把平方和構建出來。
- 所以 y 平方減去 2y 加 1。
- 如果將 1 添加到這一邊，我也要在另方面加 1，
- 等於 x 的三次方加 2x 平方 加 2x 加 4。
- 我只是給方程兩邊的同時加 1。
- 我爲什麽這麽做呢？
- 因爲我希望能構建出一個
- 包含 y 的完全平方。
- 然後我可以把這邊重寫成 y 減去 1 的平方等於
- x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加 4。
- 然後我可以說 y 減 1 等於加減
- x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加 4
- 的開方。
- 我在等式兩邊同時加 1， 我們得到 y 等於 1 加減
- x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加4
- 的開方。
- 這裡同時有加減號，如果我們要選一個，
- 我們需要重新回到起始情況。
- 好吧，起始情況告訴我們，y 在 x 等於 0 時
- 爲負 1。
- 因此，如果我們把這裡 x 代入 0，我們得到 y 等於 1 加減
- 0 加 4。
- 所以 1 加上或減去根號 4。
- 所以，如果 y 等於負 1，y 就
- 等於 1 加減-抱歉，2。
- 如果答案是 -1，
- 就必須是 1 減 2。
- 所以滿足我們起始情況的顯性表達形式是，
- 我們開始變得有點書呆子，
- 我們把加號去掉，答案是 1 減去這整個表達式。
- 它滿足了我們的起始情況。
- 我們也可以找出這個解的滿足條件的區間，
- 它的定義域。
- 好，當這個表達式爲正的時候，這個解滿足所有條件。
- 如果它是負的，這整個項將無法被在實數範圍內定義，
- 等等。
- 但不管怎麽說，我也沒有時間了。
- 下次見。