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相關課程

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相關課程
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- 希望大家都已經對微分方程有所了解。
- 所以,現在讓我們來嘗試去解決一些。
- 我要介紹給大家的第一種微分方程叫做
- 向你介紹,他們叫做隔離式微分方程。
- 我認爲你會發現的是我們其實學的
- 並不是什麽新的知識。
- 只是利用了你第一年微積分中學到的求導和求積分
- 的技巧,你就可以解決一個隔離式微分方程。
- 我們之所以稱之爲隔離式是因爲
- 我們實際上可以隔離出 x 項和 y 項,然後
- 分別對他們進行積分以獲得
- 微分方程的最終解。
- 顧名思義,這就是可隔離的。
- 隔離式微分方程。
- 讓我們做幾個例子,你就會明白了。
- 這些題目往往更鍛煉我們對代數的掌握,
- 而不是什麽其他的新東西。
- 第一個隔離式微分方程是:dy
- 除以 dx 等於 x 平方除以的 1 減 y 平方的差
- 其實,現在是時候來複習一下我們的
- 微分方程術語。
- 所以首先,什麽叫做微分方程
- 的階數?
- 嗯,這個等式中最高次的導數就是一階導數,
- 所以這個等式的階數是1。
- 所以等式是一階的。
- 這也是常微分方程,因爲等式中只有普通的求導,
- 而沒有偏導數。
- 然後,這個方程是線性的還是非線性?
- 嗯,首先你會說,好吧,我覺得,這看起來是線性。
- 我沒有用導數項乘以
- 任何項。
- 但是,如果你仔細看一眼,你會
- 發現一個有趣的事情。
- 首先,等式中有 y 平方。
- y 在這裡是因變量。
- y 是 x 的函數。
- 所以 y 平方使得這個等式非線形。
- 即使這只是一個 y ,如果你在等式兩邊同時乘以 1-y,
- 雙方這個方程倍 1 減去 y,並獲得
- 我在之前等式中展示過的一種形式,我們將得到
- 1 減去 y 平方。
- 這是實際上我們無論如何都要做的
- 第一步,所以我會寫下來。
- 所以,如果我在等式兩邊同時乘以
- 1 減去 y 平方,我們得到 1 減去 y 平方乘以 dy dx
- 等於 x 平方。
- 然後你可以看到,即使這裡不是
- y平方,你也會得到 y 乘以 dy dx,
- 這樣的等式同樣是非線性的,因爲
- 我們用因變量乘以
- 導數項本身。
- 因此,這也使得此方程爲非線性的。
- 但不管怎麽說,我們回到問題上。
- 這就是第一步。
- 我將等式兩邊同時乘以 1 減去 y 平方
- 而我們的最終目的是將 y 和 x 隔離出來,
- 然後對兩邊同時進行積分。
- 我們已經很接近了。
- 所以現在我想做的就是在等式兩邊
- 同時乘以 dx,所以我在這裡有 dx,
- 把這裡的 dx 消除掉。
- 我把它寫在這裡,我不想浪費太多空間。
- 所以我們得到 1 減去 y 平方 dy 等於,x 平方 dx。
- 我已經將兩個變量和微分符號
- 隔離了出來。
- 我做的僅僅是將等式兩邊
- 同時乘以 dx。
- 現在,我只需要對兩邊積分。
- 我們來試試。
- 無論你做等式的一側進行什麽操作,你都需要
- 對另一邊進行一樣的操作。
- 這適用於普通方程以及
- 微分方程。
- 所以我們將兩邊積分。
- 將這個式子對 y 進行積分,我們得到什麽?
- 讓我們看看。
- 1 的積分是 y,y 平方的積分是
- 負 y 的三次方除以 3。
- 我在這裡象征性的寫下 +C
- 但其實你並不需要在兩側同時
- 寫 +C。
- 因爲 y,我在這裡寫下 加常數(+C)
- 對 y 的積分。
- 你永遠不會在微積分課上看到這個,但我
- 想說明一下。
- 我只是想說 +C 從來沒有
- 在我們傳統的求反導數過程中
- 消除。
- 這一項的積分是什麽?
- 是 x 的三次方除以 3。
- 這裡同樣會出現 +C
- 因爲變量 x。
- 現在,我之所以把這一項標記爲紅色,
- 是因爲我們真的只需要在
- 等式的一側寫下 +C。
- 如果大家不是特別懂爲什麽,我們從等式兩邊
- 同時減去 Cy, 我們會得到 y 減去 -- 我們往下一點,
- 我把 y 寫的像 g。
- y 減去 y 的三次方除以 3 等於 x 的三次方
- 除以 3 加上我們對 x 求反導數時得到的常數
- 減去我們對 y 求反導數時
- 的常數。
- 但這兩個常量,它們只是常數。
- 我的意思是,我們不知道它們是什麽。
- 它們可以是任意常數。
- 所以我們可以只寫一個 C。
- 所以你可能只是 — — 你必須有常數,但是
- 常數不一定要同時出現在等式的兩邊,因爲
- 它們都是任意的。
- Cx 減去 Cy,嗯,那是仍只是另一個常數。
- 然後如果我們想要簡化這個方程,
- 我們可以將兩邊同時乘以 3,只是
- 使它更好看一點。
- 我們得到 3y 減去 y 的三次方等於 x 的三次方
- 加上 — — 好吧,我可以在這裡寫 3C。
- 但再說一次,C 是一個任意的常數。
- 所以 3 倍任意常數,只是另一個
- 任意常數。
- 所以我在這裡寫下 C。
- 這就行了。
- 我們已經解決了這個微分方程。
- 雖然現在還是隱函數的形式,但是
- 我們很難將它解出來。
- 我們可以只把 C 放在一側,這樣答案就是
- 3y 減去 y 的三次方減去 x 的三次方等於 C。
- 有人可能更喜歡這種形式。
- 但是這是最後的答案。
- 注意,方程的解,就像我們求反導數一樣,
- 在這種情況下,
- 最後的解是一組隱函數。
- 爲什麽說它是一組解呢?
- 因爲我們有個常量。
- 我們每選擇一個常量,
- 就會産生一個新的解。
- 但是所有的常數都滿足我們
- 原來的微分方程。
- 這是最初的微分方程。
- 如果你想要求出常數,必須
- 有人給你起始情況。
- 必須有人說,嗯,當 x 是 2 時,y 是 3。
- 然後你就可以解出 C。
- 好吧,讓我們做一個給我們起始情況的
- 微分方程。
- 這裡真的有點亂 — — 我重新寫一版。
- 消除圖像,不同顏色,所以我現在有很大的空間。
- y 對 x 的一階導數
- 等於 3x 的平方加上 4x 加 2 的和除以
- 2 乘 y 減 1。
- 這是括號,而不是絕對值。
- 他們給我們的初步條件。
- y 在 x 等於 0 時等於 -1。
- 所以,一旦我們解出了此微分方程,
- 我們會得到一個可隔離微分方程,然後我們
- 可以使用此起始情況,當 x 爲 0 時,y 是
- -1 來找出該常數。
- 所以我們先對這個等式進行隔離。
- 兩邊同時乘以 2 乘 y 減 1的差。
- 我們得到 2 乘以 y 減 1 乘以 dy dx 等於
- 3x 的平方加上 4x 加 2。
- 兩邊再同時乘以 dx。
- 這真的只是一個代數練習。
- 我可以把括號展開,得到 2y 減去 2,
- 然後只剩下 dy。
- 兩邊同時乘 dx,得到 3 倍 x 的平方
- 加上 4x 加 2 dx。
- 我已經將方程隔離了。
- 把自變量和因變量以及求導符號
- 隔離了出來,因此現在我開始
- 可以進行積分。
- 我用紅色來寫積分。
- 什麽是此表達式對y的
- 反導數?
- 我們看看。
- 是 y 平方減去 2y。
- 我不會在這寫+C,我會在等式
- 的右邊加上。
- 等於 3 倍 x 的平方。
- 這邊的反導數是 x 的三次方,加上 2x 的平方,加上
- 2x 加 C。
- 這裡的 C 同時代表了等式兩邊的常數,
- 希望你明白從上一個例子裏理解了
- 我這樣寫的原因。
- 然後我們可以用 y 當 x 等於 0 時等於 -1 這個起始情況
- 來解出常數C。
- 我們看看。
- 當 x 爲 0 時,y 是負 1。
- 現在,讓我們把 y 設爲負 1,所以我們得到負 1 的平方
- 減去 2 乘負 1,這時 y 的值
- 是當 x 等於 0時的值。
- 所以當 x 等於 0 時,這是 0 到三次方加
- 2 乘以 0 的平方加 2 倍的 0 加 C。
- 所以這是相當簡單的。
- 所有的這些,都是 0。
- 看看,-1的平方是 1。
- 減去 2 乘以 -1,也就是加2, 等於C。
- 我們得到 C 等於 3。
- 所以,得到的精確隱方程是這個微分方程的最終解
- — — 記住,它不是再是一組解,
- 因爲題目給了我們一個初始的條件 — — 最終解是
- y 平方減去 2y 等於 x 的三次方加上 2x 平方
- 加上 2x 加 3。
- 我們想辦法得到了C的解。
- 其實,如果需要,我們可以把這個解通過開方
- 寫成顯方程的形式。
- 剩下的僅僅是代數了。
- 你就完成了這道題了。
- 這是隱函數的形式。
- 如果你想要得到顯函數的形式,可以在等式兩邊
- 同時加 1。
- 我只是想把平方和構建出來。
- 所以 y 平方減去 2y 加 1。
- 如果將 1 添加到這一邊,我也要在另方面加 1,
- 等於 x 的三次方加 2x 平方 加 2x 加 4。
- 我只是給方程兩邊的同時加 1。
- 我爲什麽這麽做呢?
- 因爲我希望能構建出一個
- 包含 y 的完全平方。
- 然後我可以把這邊重寫成 y 減去 1 的平方等於
- x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加 4。
- 然後我可以說 y 減 1 等於加減
- x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加 4
- 的開方。
- 我在等式兩邊同時加 1, 我們得到 y 等於 1 加減
- x 的三次方加 2x 的平方加 2x 加4
- 的開方。
- 這裡同時有加減號,如果我們要選一個,
- 我們需要重新回到起始情況。
- 好吧,起始情況告訴我們,y 在 x 等於 0 時
- 爲負 1。
- 因此,如果我們把這裡 x 代入 0,我們得到 y 等於 1 加減
- 0 加 4。
- 所以 1 加上或減去根號 4。
- 所以,如果 y 等於負 1,y 就
- 等於 1 加減-抱歉,2。
- 如果答案是 -1,
- 就必須是 1 減 2。
- 所以滿足我們起始情況的顯性表達形式是,
- 我們開始變得有點書呆子,
- 我們把加號去掉,答案是 1 減去這整個表達式。
- 它滿足了我們的起始情況。
- 我們也可以找出這個解的滿足條件的區間,
- 它的定義域。
- 好,當這個表達式爲正的時候,這個解滿足所有條件。
- 如果它是負的,這整個項將無法被在實數範圍內定義,
- 等等。
- 但不管怎麽說,我也沒有時間了。
- 下次見。