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Undetermined Coefficients 1 : Using the method of undetermined coefficients to solve nonhomogeneous linear differential equations.
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- 現在我們來解
- 非齊次二階線性微分方程
- 常係數的哈
- 這是什麽意思呢？
- 意思就是待求的方程形如
- A倍的二階導數加
- B倍的一階導數 加C倍的函數
- 等於 g(x)
- 在我講解實際例子之前
- 我先告訴大家一個有趣的事情
- 非齊次方程的通解
- 實際上就是
- 齊次方程的通解加上一個特解
- 我先解釋一下這是什麽意思
- 比如說 h 是
- 齊次方程的解
- 這很好求 齊次方程嘛
- h 是齊次方程的解
- 齊次這個詞兒得有個縮寫才行
- 那是什麽意思呢？
- 意思就是
- 說A h'' + B h' + C h = 0
- 這就是我說h是解的意思
- 我們說 h是通解吧
- 齊次方程的通解
- 我們都會解
- 求解特征方程
- 考慮它有幾個根
- 是實根還是複數根
- 就能求出通解
- 並且如果你有初值條件
- 你可以代入初值
- 求出常數的值
- 妥妥的
- 現在我們說 g是一個解
- 噢不 g已經用過了
- 額 我不喜歡用元音哈
- 就用 j 吧
- 我們說 j是微分方程的
- 一個特解
- 那是什麽意思呢？
- 意思就是說 A j'' + B j' + ...
- ... + C j 等於g(x)
- 對吧？
- 我們定義 j(x) 是一個特解
- 現在我要說明 j(x) + h(x)
- 應該是原方程的
- 一個解
- 事實上它是
- 非齊次方程的通解
- 在我做嚴格的數學證明之前
- 先說明一下直觀的想法
- 嗯 如果你在這兒代入h 得0
- 當你代入j的時候 又得到 g(x)
- 把它們加起來
- 得到0 + g(x)
- 也就是 g(x)
- 現在我們來證明
- 現在我要代入 h + j
- 換個顏色先
- A倍的兩個函數之和的二階導數
- 應該等於
- 兩個函數的二階導數之和
- 加上 B倍的兩函數之和的一階導數
- 加上 C倍的兩函數之和
- 我的目標是證明它等於 g(x)
- 這個可以化簡成什麽呢？
- 如果我們拿出所有 h 項
- 我們得到 A h'' + B h' + C h 加上
- 現在來算 j 項
- 爲A j'' + B j' + C j
- 根據 h 和 j 的定義
- 這個等於什麽呢？
- 我們說 h是
- 齊次方程的通解
- 也就是說這個表達式等於 0
- 所以它等於 0
- 由j的定義 這個等於什麽？
- 我們說 j是
- 非齊次方程的特解
- 也就是說 這個表達式等於g(x)
- 所以你把h+j代入
- 微分方程的左邊
- 那麽右邊果然就得到了 g(x)
- 我們證明了 如此定義的h和j
- 設爲一個函數
- 我們設 k(x) = h(x) + j(x)
- 我沒地方寫了
- k 就是通解
- 我沒有證明它就是方程的所有解
- 不過大家在直觀上是這麽想的吧
- 因爲齊次方程的通解
- 是方程的所有解
- 現在我們加上一個特解
- 在方程的右邊得到 g(x)
- 這可能搞得大家很迷惑
- 我們試著做一些實參數的例子
- 這樣應該會容易解釋很多
- 現在我們有微分方程...
- 額我準備講解
- 求解j的方法 在最後一個例子裏會講到
- 如何求特解呢？
- 我們有微分方程
- 即y''-3y' ...
- ... - 4y 等於3e^(2x)
- 第一步 我們要求出
- 齊次方程的通解
- 我們剛剛那個例子裏
- 是h(x) 是吧？
- 所以我們要解方程
- 即y''-3y'-4y = 0
- 寫出特征方程
- ... + 4 等於0
- 即 (r - 4)(r + 1) = 0
- 方程有兩根r 4或-1
- 那麽我們的通解是 我用h表示
- 記爲 y通解 吧
- 寫成yg
- 所以我們的通解等於
- 這個我們做過很多遍了
- 是c1 e^(4x) + c2 e^(-x)
- 好了
- 我們解出了齊次方程
- 現在我們怎麽解出 額 前面的例子所說的
- 那個j(x)給出方程的一個特解
- 從而得到右手邊的式子
- 這裡我們需要思考一下
- 這個方法稱作
- 未定係數法
- 我們必須有 額
- 如果我要得到某一函數
- 我對它求二階導
- 然後加減幾倍的
- 一階導數
- 再減去幾倍的原函數 得到e^(2x)
- 那麽這個函數和它的導數
- 和二階導數需要有
- 這樣的形式
- 即e^(2x) 的若干倍
- 基本的思路就是我們來猜猜看
- 我們說 嗯 這個函數應該長什麽樣
- 當我們取它和各種導數
- 然後加減乘什麽的
- 各種運算
- 最後能得到e^(2x)
- 或者e^(2x)的若干倍
- 一個不錯的猜測是 j
- 我稱之爲 y特解
- 我們這裡的特解應爲...
- 我在這裡提到的
- 所謂特解不同於
- 初值問題中的特解
- 這裡我們視一個解爲特解
- 是說這個解能得出方程右邊的表達式
- 比如說 我選擇的特解是
- 某常數A倍的e^(2x)
- 這是我的猜測 它的導數
- 爲2A e^(2x)
- 通解的二階導數
- 等於 4A e^(2x)
- 現在我把它代入這裡
- 看看能不能解出 A
- 然後我們求出特解
- 所以它的二階導數等於這個
- 我得到 4A e^(2x) ...
- -3倍的一階導數
- 也就是 -3倍的這個東西
- 那就是 -6Ae^(2x)
- 減 4倍的原函數
- 即4Ae^(2x) 這些加起來
- 等於 3e^(2x)
- 我們知道 e^(2x)不爲零
- 兩邊除以它
- 其實就是提公因式
- 扔掉所有的 e^(2x)
- 左邊我們得到 4A-4A
- 消掉了
- 噔噔噔噔 得6A = 3
- 兩邊除以 6 得到 A = -1/2
- 完事
- 我們求出了特解
- 特解爲 -1/2e^(2x)
- 現在
- 就像我清屏之前算的那樣
- 我們的非齊次方程的通解
- 就等於我們的特解
- 加上齊次方程的通解
- 我們叫它“通通解”好麽？
- 我也不知道
- 我就稱它爲y吧
- 它等於通解 c1 e^(4x) + c2 e^(-x)...
- 加上剛才求出的特解
- 即 -1/2e^(2x)
- 很酷吧
- 我們還有更多的例子
- 我想大家已經掌握基本要領了
- 接下來的例子裏 我們會解些別的東西
- 不再是e^(2x) 或指數型函數
- 我們來試試多項式啊
- 三角函數什麽的
- 下個影片見