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- 在我們過掉
- 未定係數法這一部分之前
- 我想要說明一種很有趣的情況
- 這個結論也很有用
- 我們說
- 有如下的非齊性微分方程
- y的二階導數
- 減去3y' 減去4y
- 等於。。。 在這裡情況變得有趣了
- 3e^(2x) + 2sin x+ 。。。
- 讓我確保我還在處理
- 前面已經解過的問題 +4x2
- 你可能會說 哇
- 這是一個複雜無比的問題
- 我暴露在三種函數的襲擊之下
- 我可要有一大堆的待定係數
- 那會非常難解
- 這裡你就需要
- 做適當的簡化
- 我們知道如下微分方程的
- 三個特解
- 我們知道如下方程的解
- 即y''-3y'-4y...
- 這是個齊次方程 對吧？
- 我們知道齊次方程的解
- 我們做過好多次了
- 是 C1e^(4x) + C2e^(-x)
- 我們也知道 我先換個顏色
- 爲了有區刻度
- 方程y''-3y'- 4y
- 單單等於3e^(2x) 這個方程的解
- 我們知道方程的特解
- y特解是-1/2e^(2x)
- 我們用未定係數法求過了
- 在幾個影片以前做的
- 讓我再把這個多寫幾遍
- 我們也知道這一個方程的解
- 那是我們找到的另一個特解
- 我想那是兩個影片之前吧
- 我們求出這種情形下的特解
- 那個問題蠻棘手的
- 是。。。
- 抱歉
- 特解是 -5/17sin x
- 加上 3/17cos x
- 最後 這個多項式 這是個多項式的情形
- 我們知道
- 等於右邊這塊的一個解
- 這是我們的方程
- 我們求出
- 就在上個影片裏
- 我們求出在此情形下的特解
- 爲 -x2+(3/2)x+13/8
- 我們知道方程右邊爲0時
- 方程的解
- 我們知道右邊只有3e^(2x)時 方程的解
- 我們知道右邊只有2sinx時 方程的解
- 我們也知道右邊只有4x2時 方程的解
- 首先 這個非齊次方程
- 它的特解
- 我們可以對
- 這三個特解求和
- 這挺合理的 對吧？
- 因爲其中一個特解
- 比如說這個 當你代入到左邊的時候
- 它就等於這一項
- 這個特解
- 代入左邊的時候
- 會等於這一項
- 最後 這一個特解
- 代入方程左邊的時候
- 會等於 4x2
- 當你把齊次解加上去的時候
- 把它放到左邊 就得到0
- 所以它不會影響右邊
- 然後你就得到了最一般的通解
- 因爲解具有兩個常數
- 你可以根據初值條件求解
- 所以這個看似恐怖的方程的解
- 只是四個方程的解之和
- 我騰點地方 因爲我想把所有東西
- 都寫到版面上
- 所以解就是 額
- 這堆東西我擦了
- 我用淺藍色來寫
- 解爲齊次方程的解
- 是C1e^(4x) +C2e^(-x) -1/2e^(2x)
- 這行接著
- 然後是 -5/17sin x + 3/17cos x
- 接著是 -x2 +(3/2)x -13/8
- 看起來很嚇人
- 當你看到它的時候 可能會感覺很嚇人
- 這個解 如果我告訴你這是一個解
- 你又不知道如何運用未定係數法
- 你大概會覺得
- 永遠沒法解出這樣的一個結果來
- 但有個很重要的意識就是
- 你只需要爲這裡每一項找出特解
- 然後把它們加起來
- 然後再加上
- 齊次方程的通解
- 也就是右邊爲0的情況
- 然後你就得到了這個
- 看上去令人恐懼的二階常係數
- 微分方程的通解
- 下次影片見
- 我們將要學習求解
- 非齊次方程的另一種方法