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2003 AIME II Problem 7: 從三角形的外接圓找出菱形的面積
相關課程
- 求菱形ABCD的面積
- 已知三角形ABD和ACD的外接圓半徑
- 分別是12 5和25
- 接著讓我們來畫菱形ABCD
- 讓我們來畫菱形
- 所以讓我來畫它 我們一起做
- 那是一個合適的菱形
- 我們知道菱形的所有邊是相等的
- 接著讓我們來命名 標明頂點分別爲A B C D
- 所以這就是我們的菱形ABCD
- 然後說外接圓的半徑
- 關於三角形ABD 所以三角形ABD 這就是ABD
- 這是三角形ABD 接著讓我們來畫圓
- 讓我們來畫它的外接圓
- 或者說是經過頂點A B D 的圓
- 接著 讓我畫 我盡力畫它
- 所以 它看起來像一些東西
- 這不是一件簡單的事情 它不總是那麽簡單的
- 接著 讓我們 讓我們接著做吧 就是它
- 它是外接圓或者它是圓
- 一個圓外接到那些A B D點
- 現在告訴我們它的直徑是12 5
- 所以這就是那條直徑
- 如果我在這兒畫一條圓的直徑
- 它就是12 5
- 現在那兒還有一個關於三角形ACD的外接圓
- 所以讓我們畫它ACD A C A C D
- 讓我們畫一個經過這三個點的圓
- 看起來它必須符合一定條件
- 像這樣的事情
- 那個圓看起來有點大
- 它給我們所有的信息
- 我以我的方式畫出來了
- 所以圓看起來就是那樣的
- 我不想花太多的時間和經曆嘗試畫那個圓圈
- 但是我們應該非常小心
- 半徑是12 5 不是直徑
- 所以我們把它弄清楚了
- 現在讓我刪除那個圓
- 因爲它太混亂了
- 我也要刪除那個12 5的 我做到了
- 你看 所以12 5是圓的半徑
- 所以這第一個圓圍繞三角形ABD
- 那段長度是12 5
- 這段長度也是12 5
- 讓我們關注三角形ACD
- 讓我們關注那個三角形
- 它的外接圓將會像這樣
- 讓我畫 你看 那看上去不太好
- 你看這樣的東西
- 這裡整個的多重點就是我們嘗試畫外接圓
- 但是它是一個多重點它是一個圓
- 它經過那三個點
- 並且它的半徑是25
- 如果你有它的中心 你可以畫
- 或者如果我畫出一個標準的直徑是25的圓
- 現在我們需要求出菱形ABCD的面積
- 現在 如果你已經看了我最近上傳的影片
- 實際上我已經爲此上傳了一些前提要求
- 因爲有一個公式 我們在幾何中證明的公式
- 和在競賽數學中的公式列表
- 我們證明了關於
- 三角形的面積和它的外接圓半徑的公式
- 我在這裡重寫這個公式
- 這個公式是外接圓的半徑
- 等於三角形的乘積
- 三條邊的乘積除以四倍的
- 三角形面積
- 所以讓我們看看是否可以用這個公式
- 然後我們在此前的一個影片已經證明了
- 要找出三角形ABD的面積或者以某種方式表達它
- 和三角形ACD
- 看看我們是否可以使用這些信息
- 算出整個菱形的面積
- 讓我再畫一下它
- 因爲我認爲我畫的有些混亂
- 所以我將重新畫菱形
- 如果你願意 你可以不必畫出外接圓
- 或者外接圓的圓圈
- 因爲我們已經知道這個公式
- 所以這是A B C和D 現在讓我們首先想想三角形ABD
- 讓我在這裡畫對角線
- BD 是 AC的一條對角線
- AC是另一條對角線
- 我們知道菱形的對角線是垂直等分的
- 我們知道這是一個直角
- 我們知道 這個長度等於這個長度
- 我們還知道這個長度等於那個長度
- 現在 如果我們知道這條綠色長度
- 和這個藍色的長度 我們就可以
- 算出菱形的面積
- 讓我們標識出來 讓我們給這起個名字
- 讓我們稱這個爲小寫a
- 和這段長度叫做小寫b
- A乘以B乘以1/2 就是
- 那個三角形的面積
- A乘以B乘以1/2乘以2就求出了面積
- 對於那個面積 換個方法想一下
- 這個三角形是全等的
- 它有AB邊和這條邊
- 這四個三角形全部有那三條邊
- 所以 這四個三角形是全等的
- 所以你可以用這個三角形面積乘以4
- 你就可以算出菱形的面積
- 讓我寫下來 菱形的面積
- 等於4乘以1/2 AB
- 1/2AB就是這個三角形
- 這裡的四倍 也就是
- 4乘以1/2的AB得到2倍AB
- 就是菱形的面積
- 我們還可以算出A和B
- 我們算出A和B 我們可以算出菱形的面積
- 所以讓我們關注這第一條信息
- 讓我們關注三角形 讓我們關注三角形A B 和D
- 它的外接圓半徑是12 5
- 所以讓我們用這個我們得到的公式
- 12 5等於它的外接圓半徑
- 12 5等於邊的乘積
- 所以邊的長度是什麽呢
- 所以我們這裡有這條邊BD
- 那就是2倍的A對麽
- 那就是一個A 所以A加上一個A
- 所以它將會是2A乘以這條邊
- 這條是菱形的一邊 它是多少
- 嗯 這是一個假設
- 這個直角三角形就在這裡 對麽
- 這是一個直角
- 所以它就是A的平方加上B的平方的平方根
- 但是所有的邊都是這樣
- 這是一個菱形 所有的邊都相等
- A的平方加上B的平方 它們將會
- 有一樣的長度
- 所以邊的乘積
- 你有2A 那是BD的長度乘以
- BA的長度 也就是
- A的平方加上B的平方的平方根乘以AD的長度
- 也就是A的平方與B的平方的和的平方根
- 結果除以4乘以
- 4倍的ABD的面積
- 所以 最終就是4倍
- 所以 A B和D的面積是多少
- 嗯 ABD僅僅就是兩個這樣的三角形
- 這裡 這個就是AB的一半
- 這個也是AB的一半
- 所以整個 整個的面積就是兩個
- 這樣的面積就是A乘以B
- A乘以B 它就給出面積
- 也就是兩個這樣的三角形 每個都超過AB的一半
- 所以 我可以寫AB代替在這裡寫面積
- 所以 讓我看看這個簡化到12 5等於
- 把分子和分母分成兩部分
- 所以 它變成了一個 變成了兩個 變成了一個
- 它變成了一個 A的平方加
- B的平方的平方乘以A的平方加上
- B的平方的平方 也就是A的平方加上B的平方
- A的平方加上B的平方 並且分母是2b
- 所以這第一個信息爲外接圓半徑是12 5的
- 這裡給我們這個等式
- 現在我們爲三角形ACD做同樣的事情
- 它的外接圓半徑爲25等於這條邊的長度
- 這是一個B這也是一個B所以這就是2B
- 2B乘以這條邊的長度
- 也就是A的平方加上B的平方的平方根
- 乘以這條邊的長度 也就是
- A的平方加上B的平方的平方根
- 所有這些除以4乘以4乘以面積乘以4倍的面積
- 現在面積問題又一次僅僅是這個三角形了
- 也就是AB的一半加上這個三角形 也就是另一個AB的一半
- 你把它們加起來就是AB 你得到了AB
- 2除以2你得到了1
- 你有一個2除以B 得到了1
- 那就變成了一個A
- 所以你得到了25等於分子的平方
- A的平方乘以B的平方
- 它就是A的平方加上B的平方除以2A
- 所以第二個三角形它的外接圓半徑是25
- 這裡我們得到一個方程式
- 我們可以使用兩次這樣的方法
- 我們有兩個方程和兩個未知數
- 讓我們來解決A和B 如果我們知道了A和B
- 我們可以在回到這裡來找出菱形的面積
- 所以 這裡我們看到我們得到的
- 讓我們在兩邊乘上2B
- 我們得到了25B等於A的平方加上B的平方
- 這裡如果我們在兩邊乘上2A
- 我們得到了50A等於A的平方加上B的平方
- 所以50A等於A的平方加上B的平方
- 25B等於A的平方加上B的平方
- 所以25B必須等於50A
- 它們都是A的平方加上B的平方
- 所以我們得到了25B必須等於50A
- 它們都等於A的平方加上B的平方
- 現在兩邊都除以25
- 你得到B等於2AB
- 讓我用品紅色來標記
- B等於2A
- 所以我們可以用這些信息
- 然後代回去原來的其中一個方程
- 解決出來B 接著我們解決A
- 讓我們回到這一個
- 所以我們得到50A
- 我必須先解出A
- 50A等於A的平方加上B的平方而不是寫B的平方
- 我們知道B與2A相等
- 所以讓我們寫2A的平方
- 所以我們得到50A等於A的平方加上4倍的A的平方
- 或者我們可以得到50A等於5A的平方除以
- 兩邊 我們可以在兩邊除去5A
- 如果我們這邊除以5就得到了10
- 如果這邊我們除以5就得到了A
- 所以A等於10 接著我們可以代
- 回去這裡 我們可以求出B
- 2乘以A等於B
- B等於2乘以10 結果等於20
- 所以我們現在A就是10 B就是20 我們只要立刻回去
- 去求出菱形的面積
- 菱形的面積等於
- 2乘以A是10 2乘以10等於20
- 這就是20乘以20等於400 我們做完了
- 菱形ABCD的面積就是400
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