使用 教育雲端帳號
登入
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
2003 AIME II Problem 7 : 從三角形的外接圓找出菱形的面積
相關課程
- 求菱形ABCD的面積
- 已知三角形ABD和ACD的外接圓半徑
- 分別是12 5和25
- 接著讓我們來畫菱形ABCD
- 讓我們來畫菱形
- 所以讓我來畫它 我們一起做
- 那是一個合適的菱形
- 我們知道菱形的所有邊是相等的
- 接著讓我們來命名 標明頂點分別爲A B C D
- 所以這就是我們的菱形ABCD
- 然後說外接圓的半徑
- 關於三角形ABD 所以三角形ABD 這就是ABD
- 這是三角形ABD 接著讓我們來畫圓
- 讓我們來畫它的外接圓
- 或者說是經過頂點A B D 的圓
- 接著 讓我畫 我盡力畫它
- 所以 它看起來像一些東西
- 這不是一件簡單的事情 它不總是那麽簡單的
- 接著 讓我們 讓我們接著做吧 就是它
- 它是外接圓或者它是圓
- 一個圓外接到那些A B D點
- 現在告訴我們它的直徑是12 5
- 所以這就是那條直徑
- 如果我在這兒畫一條圓的直徑
- 它就是12 5
- 現在那兒還有一個關於三角形ACD的外接圓
- 所以讓我們畫它ACD A C A C D
- 讓我們畫一個經過這三個點的圓
- 看起來它必須符合一定條件
- 像這樣的事情
- 那個圓看起來有點大
- 它給我們所有的信息
- 我以我的方式畫出來了
- 所以圓看起來就是那樣的
- 我不想花太多的時間和經曆嘗試畫那個圓圈
- 但是我們應該非常小心
- 半徑是12 5 不是直徑
- 所以我們把它弄清楚了
- 現在讓我刪除那個圓
- 因爲它太混亂了
- 我也要刪除那個12 5的 我做到了
- 你看 所以12 5是圓的半徑
- 所以這第一個圓圍繞三角形ABD
- 那段長度是12 5
- 這段長度也是12 5
- 讓我們關注三角形ACD
- 讓我們關注那個三角形
- 它的外接圓將會像這樣
- 讓我畫 你看 那看上去不太好
- 你看這樣的東西
- 這裡整個的多重點就是我們嘗試畫外接圓
- 但是它是一個多重點它是一個圓
- 它經過那三個點
- 並且它的半徑是25
- 如果你有它的中心 你可以畫
- 或者如果我畫出一個標準的直徑是25的圓
- 現在我們需要求出菱形ABCD的面積
- 現在 如果你已經看了我最近上傳的影片
- 實際上我已經爲此上傳了一些前提要求
- 因爲有一個公式 我們在幾何中證明的公式
- 和在競賽數學中的公式列表
- 我們證明了關於
- 三角形的面積和它的外接圓半徑的公式
- 我在這裡重寫這個公式
- 這個公式是外接圓的半徑
- 等於三角形的乘積
- 三條邊的乘積除以四倍的
- 三角形面積
- 所以讓我們看看是否可以用這個公式
- 然後我們在此前的一個影片已經證明了
- 要找出三角形ABD的面積或者以某種方式表達它
- 和三角形ACD
- 看看我們是否可以使用這些信息
- 算出整個菱形的面積
- 讓我再畫一下它
- 因爲我認爲我畫的有些混亂
- 所以我將重新畫菱形
- 如果你願意 你可以不必畫出外接圓
- 或者外接圓的圓圈
- 因爲我們已經知道這個公式
- 所以這是A B C和D 現在讓我們首先想想三角形ABD
- 讓我在這裡畫對角線
- BD 是 AC的一條對角線
- AC是另一條對角線
- 我們知道菱形的對角線是垂直等分的
- 我們知道這是一個直角
- 我們知道 這個長度等於這個長度
- 我們還知道這個長度等於那個長度
- 現在 如果我們知道這條綠色長度
- 和這個藍色的長度 我們就可以
- 算出菱形的面積
- 讓我們標識出來 讓我們給這起個名字
- 讓我們稱這個爲小寫a
- 和這段長度叫做小寫b
- A乘以B乘以1/2 就是
- 那個三角形的面積
- A乘以B乘以1/2乘以2就求出了面積
- 對於那個面積 換個方法想一下
- 這個三角形是全等的
- 它有AB邊和這條邊
- 這四個三角形全部有那三條邊
- 所以 這四個三角形是全等的
- 所以你可以用這個三角形面積乘以4
- 你就可以算出菱形的面積
- 讓我寫下來 菱形的面積
- 等於4乘以1/2 AB
- 1/2AB就是這個三角形
- 這裡的四倍 也就是
- 4乘以1/2的AB得到2倍AB
- 就是菱形的面積
- 我們還可以算出A和B
- 我們算出A和B 我們可以算出菱形的面積
- 所以讓我們關注這第一條信息
- 讓我們關注三角形 讓我們關注三角形A B 和D
- 它的外接圓半徑是12 5
- 所以讓我們用這個我們得到的公式
- 12 5等於它的外接圓半徑
- 12 5等於邊的乘積
- 所以邊的長度是什麽呢
- 所以我們這裡有這條邊BD
- 那就是2倍的A對麽
- 那就是一個A 所以A加上一個A
- 所以它將會是2A乘以這條邊
- 這條是菱形的一邊 它是多少
- 嗯 這是一個假設
- 這個直角三角形就在這裡 對麽
- 這是一個直角
- 所以它就是A的平方加上B的平方的平方根
- 但是所有的邊都是這樣
- 這是一個菱形 所有的邊都相等
- A的平方加上B的平方 它們將會
- 有一樣的長度
- 所以邊的乘積
- 你有2A 那是BD的長度乘以
- BA的長度 也就是
- A的平方加上B的平方的平方根乘以AD的長度
- 也就是A的平方與B的平方的和的平方根
- 結果除以4乘以
- 4倍的ABD的面積
- 所以 最終就是4倍
- 所以 A B和D的面積是多少
- 嗯 ABD僅僅就是兩個這樣的三角形
- 這裡 這個就是AB的一半
- 這個也是AB的一半
- 所以整個 整個的面積就是兩個
- 這樣的面積就是A乘以B
- A乘以B 它就給出面積
- 也就是兩個這樣的三角形 每個都超過AB的一半
- 所以 我可以寫AB代替在這裡寫面積
- 所以 讓我看看這個簡化到12 5等於
- 把分子和分母分成兩部分
- 所以 它變成了一個 變成了兩個 變成了一個
- 它變成了一個 A的平方加
- B的平方的平方乘以A的平方加上
- B的平方的平方 也就是A的平方加上B的平方
- A的平方加上B的平方 並且分母是2b
- 所以這第一個信息爲外接圓半徑是12 5的
- 這裡給我們這個等式
- 現在我們爲三角形ACD做同樣的事情
- 它的外接圓半徑爲25等於這條邊的長度
- 這是一個B這也是一個B所以這就是2B
- 2B乘以這條邊的長度
- 也就是A的平方加上B的平方的平方根
- 乘以這條邊的長度 也就是
- A的平方加上B的平方的平方根
- 所有這些除以4乘以4乘以面積乘以4倍的面積
- 現在面積問題又一次僅僅是這個三角形了
- 也就是AB的一半加上這個三角形 也就是另一個AB的一半
- 你把它們加起來就是AB 你得到了AB
- 2除以2你得到了1
- 你有一個2除以B 得到了1
- 那就變成了一個A
- 所以你得到了25等於分子的平方
- A的平方乘以B的平方
- 它就是A的平方加上B的平方除以2A
- 所以第二個三角形它的外接圓半徑是25
- 這裡我們得到一個方程式
- 我們可以使用兩次這樣的方法
- 我們有兩個方程和兩個未知數
- 讓我們來解決A和B 如果我們知道了A和B
- 我們可以在回到這裡來找出菱形的面積
- 所以 這裡我們看到我們得到的
- 讓我們在兩邊乘上2B
- 我們得到了25B等於A的平方加上B的平方
- 這裡如果我們在兩邊乘上2A
- 我們得到了50A等於A的平方加上B的平方
- 所以50A等於A的平方加上B的平方
- 25B等於A的平方加上B的平方
- 所以25B必須等於50A
- 它們都是A的平方加上B的平方
- 所以我們得到了25B必須等於50A
- 它們都等於A的平方加上B的平方
- 現在兩邊都除以25
- 你得到B等於2AB
- 讓我用品紅色來標記
- B等於2A
- 所以我們可以用這些信息
- 然後代回去原來的其中一個方程
- 解決出來B 接著我們解決A
- 讓我們回到這一個
- 所以我們得到50A
- 我必須先解出A
- 50A等於A的平方加上B的平方而不是寫B的平方
- 我們知道B與2A相等
- 所以讓我們寫2A的平方
- 所以我們得到50A等於A的平方加上4倍的A的平方
- 或者我們可以得到50A等於5A的平方除以
- 兩邊 我們可以在兩邊除去5A
- 如果我們這邊除以5就得到了10
- 如果這邊我們除以5就得到了A
- 所以A等於10 接著我們可以代
- 回去這裡 我們可以求出B
- 2乘以A等於B
- B等於2乘以10 結果等於20
- 所以我們現在A就是10 B就是20 我們只要立刻回去
- 去求出菱形的面積
- 菱形的面積等於
- 2乘以A是10 2乘以10等於20
- 這就是20乘以20等於400 我們做完了
- 菱形ABCD的面積就是400
留言:
新增一則留言(尚未登入)