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角平分線定理證明 (英): 角平分線定理是什麼以及其證明
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- 我想先跟大家講一下
- 角平分線定理是什麽
- 然後我們再證明角的平分線定理
- 這裡有個任意的三角形 △ABC
- 我要做的是
- 給上邊這個角畫角平分線
- 我可以選這個三個角中的任一個角
- 爲了讓證明更簡單點兒
- 我選這個角 ∠ABC
- 我現在來等分∠ABC
- 假設這條線是∠ABC的平分線
- 這個角和這邊這個角
- 它們是相等的
- 我們設下邊這個點爲D
- 我們設這個點爲點D
- 由角平分線定理可知
- 這個的比 不是角平分線
- 當我畫這個平分線後
- 就把大三角形分成兩個小三角形
- 由叫平分線定理可知
- 由角平分線隔出的兩個三角形
- 它們另外兩條邊的比是相等的
- AB比AD與
- BC比CD是相等的
- 我用不同的顏色來標一下
- 這段的長和這段的長的比
- 等於BC
- 就是這條邊
- 等於BC比CD
- 你發現這兩條邊的比
- 與這那兩條邊的比相等
- 這很酷吧
- 不能因爲這個結果很炫
- 你就全盤相信
- 大家必須得自己證明出來
- 你可以先假設
- 已經有這個比例等式了
- 然後我們通過用相似三角形來證明
- 但不幸的是
- 這兩個三角形並不相似
- 我們不能
- 我們知道這兩個角是相等的
- 但是我們不知道
- 下邊的兩個角是否相等
- 我們不能做這樣的假設
- 爲了讓這個命題成立
- 我們需要構建一個新三角形
- 與這兩個三角形其中一個相似
- 其中一種方法就是 再畫一條直線
- 這有一點
- 我第一次也不是
- 立馬想到這種證明方法
- 如果你沒想到 也別泄氣
- 如果我們繼續延長這個角平分線
- 延長這個角平分線會怎樣呢
- 咱們來延長角平分線
- 它不斷延伸
- 咱們或許可以畫一個三角形
- 與這個三角形類似
- 如果在這裡做AB的平行線
- 咱們來試一下
- 我只是想說
- 大家都知道
- 只要點C不在AB上
- 就能找到一個經過點C的直線
- 並且與AB平行
- 咱們就按定義
- 在這裡畫一條直線
- 設這一點爲點F
- 我們選擇這條線FC
- 是與AB平行的
- 這兩條線是平行的
- 所以FC與AB平行
- 我們可以這樣才構建三角形
- 現在就好玩兒了
- 因爲我們這樣做了
- 我們可以讓這兩個三角形相似
- 咱們來看看
- 咱們看看會怎樣
- 在考慮相似性之前
- 我們先看一些角
- 或者是我們對這些角有什麽了解
- 我們知道有內錯角
- 因爲這兩條直線平行
- 我可以想象AB向兩邊延伸
- FC這樣延伸
- BD是兩平行線的截線
- 不管這個角如何
- 這個角都是它的內錯角
- 我們已經講過很多了
- 我們在講平行線與截線形成的角時 講過很多了
- 所以這兩個角是相等的
- 但這兩個角是相等的
- 因爲這兩個角也相等
- 因爲它是角平分線
- 因爲是角平分線
- 所以∠ABD與∠DBC相等
- 不管這三個角大小如何
- 都會比較有意思
- 因爲現在情況是
- 如果你看這個大三角形BFC
- 它的兩個底角是相等的
- 這就意味著△BFC是等腰三角形
- 所以BC等於FC
- 很炫吧
- 我們剛通過截線 內錯角來證明
- 這兩條邊是相等的
- BC和FC是相等的
- 這很有用
- 因爲我們知道
- 我們有預感
- △ABD和△CDF相似
- 雖然我們還沒有證明
- 這對我們找BC有什麽幫助呢？
- 我們剛證明BC和FC相等
- 這兩個是相等的
- 如果我們想證明
- 如果我們可以證明
- AB比AD等於FC比CD
- 我們就可以證明這個結果了
- 因爲我們剛證明了 BC等於FC
- 咱們別從這個定理出發
- 咱們來推導這個定理
- FC與AB平行
- 可以證明這是個等腰三角形
- 說明這兩條邊相等
- 現在咱們再看下其他的角
- 讓我們更有信心
- 我們有
- 如果看△ABD
- 看△ABD和△FDC
- 我們已經構建出
- 它們有一組角是相等的
- 還有
- △ABD的這個角
- 是和
- 和這個角是對尖角
- 因此它們是相等的
- 如果兩個三角形有兩個角相等
- 那麽第三個角就也是相等的
- 或者我們可以通過兩個角相等
- 來證明這兩個三角形相似
- 我把這個寫下來
- 你得確保對應的邊沒寫錯
- 我們通過兩角相等
- 我從綠角開始
- 然後再是藍色的角
- 三角形BDA
- 確保我們是從綠色的角開始
- 就是△FDC
- 因爲我們最終想推導出角平分線定理
- 我們要找到AB與AD的比
- 在相似三角形中 我們可以找
- 對應邊的比相等
- 或者可以用相似的兩個三角形
- 其中一個三角形的兩邊的比
- 與另一個三角形對應的兩邊的比
- 是相等的
- 用三角形的相似性
- 我們知道AB
- 順便說一句 這兩個三角形是通過兩組角相等證明相似的
- 我寫下來
- 現在已經知道這兩個三角形相似
- 我們知道AB比AD等於
- 我們可以通過這兒來找對應的邊
- AB對應的是CF
- AB比AD等於CF比AD
- AD與CD是對應的
- 因此AB與AD的比等於CF與CD的比
- 因爲我們剛已經證明了
- △BCF是個等腰三角形
- CF與BC是相等的
- CF與BC是相等的
- 大功告成
- 我們證明了AB比AD等於BC比CD
- 證明這個 我們需要做兩步
- 首先構建個三角形
- 假設這兩條邊是平行的
- 這就給我們兩個結果
- 就有另外一組角來證明這兩個三角形是相似的
- 也讓我們構建了
- 不好意思 我嗓子裏有些東西
- 結束後 我該去喝點兒水
- 通過構建這個三角形
- 不僅證明這兩個三角形相似
- 還構建了這個大的等腰三角形
- 來證明如果我們可以
- 找到這兩個三角形兩條邊的比
- 這就等於
- 如果可以證明這兩條邊的比
- 和這兩條邊的比相等
- 這就等於證明
- 這兩邊的比
- 和BC與CD的比相等
- 大功告成
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