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內切圓半徑、周長與面積 (英): 面積等於半週長乘以內切圓半徑
相關課程
- 我們已經知道三角形ABC的周長爲p 內徑爲r
- 利用p和r我們需要求出ABC的面積
- 我們知道周長就是三角形各邊之和
- 或者說是沿著三角形轉一圈的長度
- 我們來回顧一下內徑是什麽
- 我們取這些頂點的角平分線
- 取這些角
- 那是角平分線
- 那也是角平分線
- 這個角與那個角相等
- 這個角與那個角相等
- 這個角也與那個角相等
- 這些角平分線相交的點
- 就是內切圓心
- 它到三邊的距離相等
- 這個距離就是內徑
- 我來畫一下內徑
- 當你想知道這個點與這條線的距離時
- 就畫一條垂直線
- 那麽這個長度就是內徑
- 這個長度也是內徑
- 這個長度還是內徑
- 還可以畫一個內切圓 它的圓心就在內切圓心上
- 半徑爲r 畫起來就像是這樣
- 解題時 我們不一定要把它畫出來
- 畫出來就像是這樣
- 我們叫它內切圓
- 我們來想想怎麽求出面積
- 特別是在給定了內徑大小的情況下
- 內徑其實還挺有意思的 它看起來像是一條高
- 這個就像是這個三角形的高
- 三角形A 我們取內切圓心爲I
- 所以說這個r是三角形AIC的高
- 這個r是三角形AIC的高
- 這個我們還沒有標上去的r
- 就是三角形AIC的高
- 我們就可以根據r和相應的底邊來求出每一個三角形的面積
- 也許當我們把所有三角形的面積相加
- 根據周長和內徑 就可以得到一些東西
- 我們來試試看
- 所以整個三角形ABC的面積等於
- 我用顏色標記一下
- 面積等於AIC的面積
- 也就是我塗了紫紅色陰影的部分 面積等於AIC的面積
- 加上BIC的面積 就是這個三角形
- 我用另外一個顏色好了 已經用了藍色
- 那麽我用橙色好了
- 加上BIC的面積 就是這部分面積
- 加上BIC的面積之後 還要加上一塊面積
- 我用粉色好了
- 加上AIB的面積 這是AIB的面積
- 把這三個三角形的面積相加
- 就得到大三角形的面積了
- 現在我們看AIC的面積 它等於二分之一的底乘以高
- 也就是二分之一乘以底的長度 就是AC 也就是二分之一的AC
- 再乘以這條高
- 也就是r 就是再乘以r
- 這就是AIC的面積
- BIC的面積是二分之一的底 也就是BC
- 乘以高 也就是r
- 再加上AIB的面積
- 也就是二分之一的底 就是AB邊的長度
- AB乘以高 同樣也是r
- 這裡我們可以提出二分之一的r
- 就得到二分之一的AC BC與AB之和
- 接下來應該很明白了
- 加上AB 我們用不同的粉色標記
- 現在我們看 AC加BC加AB得到什麽呢
- 得到的是三角形的周長 求出所有的邊長總和
- 得到的就是周長p 到此爲止 問題基本上是解決了
- 三角形ABC的面積等於二分之一的r乘以周長
- 答案看起來很簡單吧
- 二分之一乘以內徑乘以三角形的周長
- 有時候也寫成這樣 面積等於r乘以p除以s
- 不好意思 應該是p除以2
- p除以2的部分
- 也叫半周長 通常用s表示
- 所以有時候面積也等於r乘以s
- 此時s表示半周長 就是周長除以2
- 我比較偏向於這種表達式
- 因爲p是周長的首字母 就代表周長
- 這很有用 顯然 已知內徑和周長的大小
- 你就可以求出三角形的面積
- 或者 有人告訴你三角形的面積以及周長大小
- 你就可以求出內徑的大小
- 在這些變量中任取兩個就可以得出第三個量
- 舉個例子好了 如果有人 假設這裡有個三角形
- 是最著名的直角三角形
- 假設長度是3 4 5
- 我們知道這是一個直角三角形
- 這可以用勾股定理來驗證
- 如果想要求這個三角形的內徑
- 首先面積倒是很好求的
- 我們知道這是一個直角三角形 3的平方加上4的平方等於5的平方
- 所以面積就是3乘以4乘以二分之一
- 3乘以4乘以二分之一等於6
- 周長爲3加4 等於7 再加上5 等於12
- 那現在我們知道了面積 寫下來
- 面積等於二分之一乘以內徑乘以周長
- 也就是12等於二分之一乘以內徑乘以周長
- 也就是 噢不好意思 這是6 改一下
- 面積爲6 6等於二分之一乘以內徑乘以12
- 此時我們看 二分之一乘以12等於6
- 6等於6r 兩邊同時除以6 得出r等於1
- 接下來畫出內徑 這倒是很簡單的
- 畫一些角平分線
- 這個3-4-5型直角三角形的內徑爲1
- 那麽這段距離與這段距離相等 也與這段距離相等
- 都等於1 答案很簡單吧
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