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點與線的距離以及角平分線 (英): 想想看一個點到一條線的距離。證明在角平分線上面的點到兩邊的線的距離一樣，也證明與兩線等距離的點一定在角平分線上面。
相關課程
- 本次影片要講的是
- 角平分線上的點
- 在講之前我想確認一下
- 大家是否明氫脆化到直線距離的含義
- 假設有一個點 點A
- 這是一條直線
- 我們叫它BC
- 當我們說兩點之間的距離時
- 這很明顯
- 在兩點之間畫一條線即可
- 已經用過B了
- 只需要在這兩點間畫一條直線
- 找出它的長度即可
- 兩點間的距離看起來是很簡單的
- 但點與直線的距離呢？
- 因爲直線上有很多點
- 我們可以找這個距離
- 還可以找這個距離
- 或者是找這個距離
- 這些距離的長度都是不相等的
- 那怎麽尋找唯一的距離呢？
- 咱們是這樣思考這個問題的
- 在之後的數學課中 尤其是在向量和線性代數
- 我們會更深入地講
- 點到直線的距離是最短的距離
- 這個最短距離就像是
- 你從點畫一條垂直線到直線
- 就是這條線
- 這條線就是我們之稱之爲
- 點到直線的距離
- 它們是垂直的
- 這個距離是最短的距離
- 你可以與這個點
- 到直線上其它點的距離相比
- 在這條直線上再選一點
- 我們稱之爲點E
- 咱們來想一想
- E是個任意的點 我可以把E畫在這兒
- 可以把點E畫在這兒 可以把它畫在任何地方
- 但不管點E在哪
- 你在點A 點E畫線段後
- 點A 點E 以及垂直的點
- 就構成了一個直角三角形
- 我們設這個點爲F
- 但只有點E和點F不重合時
- 才能夠組成一個直角三角形
- 如果這樣做了
- 你立馬就可以看出d比橙色的線段短
- 因爲橙色的線段是直角三角形的斜邊
- 斜邊是直角三角形中最長的邊
- d的平方加這條邊的平方
- 等於斜邊長的平方
- 希望這至少能讓大家明白
- 爲什麽點到直線做垂直線
- 是點到直線的最短距離
- 這個唯一的最短距離
- 我們稱之爲點到直線的距離
- 講了這個之後
- 咱們來想下角的平分線
- 我先畫一個角
- 我們設這個點
- 我換個顏色
- 我們設這個點是點A 設這個點爲點B
- 再設這個點爲點C
- 角的平分線實際上就是一條把角平分的
- 直線 線段或射線
- 這個之前我們有講過
- 比如 如果我們想等分∠ABC
- 就是這個角
- 我們想把它等分爲兩部分
- 我們想把它分成
- 我可以畫得更好一點兒
- 我們想把它等分爲兩部分
- 我想畫直一點兒
- 我畫得不好 這看起來不錯了
- 咱們設這個點爲點D
- 我們可以說這是一條
- 射線或線段之類的
- 我們可以這樣想
- 如果∠DBC和∠DBA是相等的
- 如果∠DBC和∠DBA相等
- 我們就可以說DB平分∠ABC
- 我現在說的是線段DB
- 我們也可以一直向右畫成一條射線 或一條直線
- DB平分∠ABC
- 非常好
- 我之所以做
- 點到直線距離這個影片
- 是爲了向大家證明
- 角平分線上的任意一點
- 到角兩邊的距離是相等的
- 然後再反過來證明
- 一個點到角兩邊的距離相等
- 這個點就在角的平分線上
- 咱們在角平分線上任意取一點
- 就選這個點
- 我們設這個點爲F
- 其實我也可以用E 因爲我還沒用E呢
- 點E就是角平分線上的任意一點
- 我們現在來看一下點E到BC的距離
- 以及點E到BA的距離
- 我們已經講過點到直線的距離就是
- 從點畫直線的垂直線
- 這一直成立
- 咱們就在這兒畫一條垂直線
- 這是一個距離
- 這是另一個距離
- 這個距離就是
- 點E到BC的距離
- 這個橙色的線段是點E到BA的距離
- 我想證明的就是這兩個距離是相等的
- 首先 要注意的是
- 這兩個是直角三角形
- 它們的角都是相等的
- 不是共用
- ∠ABE=∠CBE
- 因爲DB平分這個角
- 所以這兩個角是相等的
- 這兩個三角形都是直角三角形
- 所以它們有兩個角是相等的
- 也就意味著它們三個角都是相等的
- 因爲兩個角已經決定了第三個角的大小
- 它們還共用一條邊
- 這兩個三角形有三個角是相等的
- 不一定是相同的
- 而且還共用一條邊
- BE是這兩個直角三角形的斜邊
- 因此你可以用這個角 這個角和這條斜邊
- 這個角 這個角和這條斜邊
- 來證明這兩個三角形是全等的
- 我們可以說
- 我來標幾個點
- 設這個點爲點F 設這個點爲點G
- 我們可以說△EBF和△EBG全等
- 我們可以用角角邊來證明
- 或者你可以說
- 如果兩個同位角相等了
- 第三個角也相等
- 這個角也是相等的
- 就可以用角邊角來證明
- 但不管用哪種方法 這兩個三角形都是全等的
- 如果這兩個三角形全等
- 它們對應的邊也是相等的
- 因此線段EF的長
- 線段EF與線段EG的長度相等
- 這其實就是
- EF的長等於EG的長
- 這兩種說法是相同的
- EF的長
- 等於EG的長
- 這兩個長度是
- 點到角兩邊的距離
- 我們已經證明了第一個命題
- 角平分線上的點
- 到角兩邊的距離相等
- 咱們再反過來證
- 假設有
- 我先畫一個角
- 設這三個點爲A B C
- 再取一個任意點 點E
- 咱們取個任意點 點E
- 假設我們已經知道
- 點E到BC和BA的距離相等
- 我們要證明的是
- 點E在∠ABC的平分線上
- 這邊證明的是 角平分線上的點到角兩邊的距離相等
- 這裡我們要證明的是
- 如果到角兩邊的距離相等 那麽這個點在角平分線上
- 如果點E到BC和BA的距離相等
- 那麽這裡的垂直距離
- 這裡的垂直距離
- 是和那邊的垂直距離
- 是相等的
- 我來標下這些點
- 設這個點爲點D
- 設這個點爲點F
- 咱們畫線段BE
- 畫出線段BE
- 現在又有兩個直角三角形了
- 我們已經知道有兩條邊是相等的了
- 它們又共用一條斜邊
- 斜邊自己肯定相等
- 根據勾股定理
- 如果知道直角三角形中的兩條邊
- 那麽第三條邊也就固定了
- 我們知道有兩條邊相等了
- 所以第三條邊也是相等的
- 所以這兩條邊是相等的
- 大家可以用邊邊邊定理
- 來證明這兩個三角形全等
- 你其實可以不用邊邊邊
- 如果兩個三角形是直角三角形
- 你可以用HL來證明
- 如果有兩個直角三角形
- 它們有一條直角邊相等
- 斜邊也是相等的
- 就能證明這兩個直角三角形全等
- 你也可以用HL來證明兩直角三角形全等
- 不管怎麽樣 你都可以證明
- △EBD與△EBF全等
- 與三角形EBF全等
- 我們這裡用的是邊邊邊
- 你也可以用HL來證明
- 我寫下來RSH
- 角邊邊對任意三角形都是用
- 但是
- 其實RSH對於直角三角形來說就是角邊邊
- 如果直角三角形的兩條邊相同
- 如果直角三角形的兩條邊相等
- 那麽這兩個三角形肯定全等
- 這就是這個RSH要表達的
- 如果知道兩個三角形全等
- 那麽它們對應的角也是相等的
- ∠EBD和∠EBF相對應
- 所以∠EBD肯定和∠EBF相等
- 所以∠EBD肯定和∠EBF相等
- 如果∠EBD等於∠EBF
- 這就說明線段EB等分∠CBF
- 等分∠CBF 我也可以說∠CBA
- 它可以被叫做∠CBF
- 大功告成
- 這邊我們證明了
- 角平分線上的點到角兩邊的距離相等
- 這邊我們證明了 如果某點到角兩邊距離相等
- 那麽這個點在角平分線上
- 也可能是角平分線的末端
- 但很明顯 它是在角平分線上的
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