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兩行式證明線段垂直 (英): 利用三角形全等定理證明兩相交線段垂直
相關課程
- 在這個影片中
- 我想要證明的是線段AC與線段DB垂直
- 已知條件已經標在了圖中
- 這條邊與那條邊的長度相等
- 這條邊也與那條邊的長度相等
- 這裡有個小提示
- 我們即將利用的是全等三角形判定定理來解題
- 後面我就簡稱爲判定定理
- 我們來看看已知條件
- 在這兒畫一條線 像是工具箱一樣
- 我們有邊邊邊判定定理
- 三邊長對應相等則三角形全等
- 我們有邊角邊判定定理
- 若兩邊長以及所夾的角相等
- 則三角形全等
- 我們有角邊角判定定理 即兩個角以及所夾的邊相等
- 我們還有角角邊判定定理 即兩個角以及一條邊相等
- 前面確定的這些都是判定定理
- 我們假定由它們可以推出全等的情形
- 接下來我要用一種叫做雙欄證明的方法
- 你不一定要用這種方法的
- 不過在一般的幾何入門課上通常都用這種方法
- 接下來我會讓你們見識到這種方法
- 其實原理很簡單
- 當你寫出一條式子時
- 你需要提供相應的依據
- 對於任何證明題我們都用這種方法
- 但是並沒有總強調這麽做的意義
- 所以接下來我就用這種方法來做
- 首先得有兩欄
- 表達式一欄
- 以及對應的依據一欄
- 所以我用這種方法
- 顯然
- 看起來三角形CDA與CBA是全等的 這是可以證明的
- 根據邊邊邊判定定理 這個出發點不錯
- 因爲一旦有三角形全等
- 那麽就可以推出某些角相等
- 這是有理有據的 這條邊與那條邊相等
- 這條邊與那條邊相等 而且那條邊爲兩個三角形的共線
- 但是這次我要用兩欄證明法完完全全地把解題方法寫出來
- 而不只是口頭陳述而已
- 我們已知線段CD的長度
- 與CB的長度相等
- CD與CB相等 這是已知條件
- 所以這兩條線一樣長
- 我們還知道線段DA的長度
- 與線段BA的長度相等
- 所以DA等於BA 這也是圖中已給的條件
- 我們還知道CA與CA相等
- 或者說CA與它本身是相等的
- 顯然 它同時在兩個三角形中
- 所以這也是已知的 或者說從圖中顯而易見地觀察到的
- 很明顯 它是兩個三角形的共線
- 兩個三角形對應邊長相等
- 所以它們是全等的
- 也就是三角形CDA與三角形CBA全等
- 我們是由邊邊邊判定定理
- 以及上面的這些式子得出的
- 我還是編一下號好了
- 這樣就可以明確提到的是哪一點
- 根據邊邊邊判定定理以及第1 2 3個式子
- 所以由第1 2 3個式子以及邊邊邊判定定理
- 可以推出這兩個三角形全等
- 由全等又可以推出
- 對應角都相等
- 比方說 這個角就與那個角相等
- 好 我們寫下來
- 我們知道角DCE
- 這是第5個式子
- 我們知道角DCE 也就是這個角
- 與哪個角相等呢
- 角DCE的大小
- 與角BCE的大小相等
- 這是直接從第4個式子中推出來的
- 由全等推出 可以加個括號
- 由那兩個三角形的全等推出 這是個直接可以得出的推論
- 因爲它們都是大三角形的一部分
- 它們又是對應角
- 所以它們的大小是相等的
- 現在我們可以討論一下
- 這兩個小三角形的情況
- 它們看起來像是這個類風筝圖形中
- 左上角和右上角的部分
- 有一條對應邊相等
- 一個對應角相等
- 還有同樣的一條邊
- 兩個三角形都有同樣的一條邊
- 我們首先確定兩個三角形都有同樣的一條邊
- 這是第6個式子 CE的長度
- 它的長度與其本身是相等的
- 同樣地 顯然這是同一條線
- 從圖中顯而易見觀察到的 這是同一條線
- 從圖中顯而易見觀察到的
- 但是這已經可以拿來用了
- 雖然我們並沒有三條邊(對應相等)
- 我們並沒有證明這條線與這條線相等
- 也就是DE與EB等長
- 但是我們可以通過兩條邊以及所夾的角(判定全等)
- 這就是我們所說的邊角邊判定定理 比較特別
- 所以我們說根據邊角邊判定定理
- 可以推出三角形DCE與三角形BCE全等
- 當我寫這些三角形的時候
- 頂點的位置一定是相互對應的
- 我從D開始 然後是C 再是E
- 所以對應的這個三角形的角
- 或者說頂點
- 是B
- 如果我從D開始 對應的就要從B開始
- C點在中間
- 是上面這兩個三角形對應的頂點
- 最後都到E
- 這主要是爲了明確對應的部分是哪些
- 我們知道這個式子是對的 根據邊角邊判定定理
- 並且我們從第1個式子中明確了
- 這兩邊是相等的
- 還有這兩個角也是相等的
- 這是從第5個式子來的
- 而由第6個式子 我們發現還有一條邊
- 第6個式子
- 如果我們知道這兩個三角形全等
- 就可以推出所有對應的角都是相等的
- 比如說
- 這個角就和那個角相等
- 我們把它寫下來
- 這是第8個式子
- 我們看 角DEC的大小
- 與角BEC的大小相等
- 這由第7個式子直接就可以推出來
- 因爲它們全等
- 我們還知道什麽呢 這是第9個式子
- 我們還知道角DEC的大小
- 我們這樣寫好了
- 角DEC與角BEC互補
- 互補
- 其實通過觀察就可以發現
- 我好好地寫一下 它們互補
- 互補意味著它們的大小之和等於180度
- 因爲它們是鄰角
- 而角的兩條邊組成了平角
- 這樣我們必定能推出下一步
- 前提就是我們知道這兩個角是相等的
- 既然它們互補
- 下一步我們可以消去它
- 實際上消去後角就是90度
- 所以第10個式子 角DEC的大小與角BEC的大小相等
- 都爲90度
- 根據什麽呢 這就稍微有點複雜了
- 我們把這兩個式子放在一起
- 就是第8和第9個式子
- 第8和第9個式子 寫下來
- 角DEC的大小加上什麽呢
- 我不想用太多的步驟
- 還是一起寫出來好了
- 一點一點寫 慢慢來
- 這樣寫好了
- 角DEC的大小加上角BEC的大小
- 和爲180度 這可以由第9個式子直接推出來
- 它們是互補的
- 然後我們就可以說什麽呢 這有位置寫
- 這是第11個式子 我們說角DEC的大小
- 加上角DEC的大小等於180度
- 這是由第9和第8個式子得出來的
- 因爲BEC的大小與DEC的大小相等
- 所以我們就可以帶入第9個式子
- 再來第12個式子
- 就是角DEC的大小等於90度
- 又等於角BEC的大小
- 同樣地
- 這是由第11和第8點直接推出來的
- 我花了不少時間
- 把步驟分得很細
- 當然還有其它一些我沒有列出來的證明依據
- 比如說 顯然這個可以推出這個和那個
- 我們已經搞定了 因爲這些是90度
- 這些是90度 我寫下最後一個式子
- 第13個式子 也就是我們想要求證的東西
- 我們想要求證AC與DB垂直
- AC與什麽垂直呢 與線段DB垂直
- 這直接可以由第12點推出 這就搞定了
- 我們用了兩欄證明的方法
- 證明了這條線 這條線段
- 與那條線 那條線段相互垂直
- 我們根據的是邊邊邊判定定理和邊角邊判定定理
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