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圓: 半徑、直徑與圓周 (英): 了解半徑、直徑與圓周之間的關係
相關課程
- 可以說圓是宇宙中最基本的形狀
- 行星的軌道是圓形的
- 輪子也是圓形的
- 分子也是圓的
- 圓是無處不在的
- 因此我們必須了解
- 圓的一些特性
- 人類第一次發現圓形
- 可能就是抬頭看見的月亮
- 人們會問
- 圓有什麼特性呢？
- 第一個特性就是
- 圓上所有的點
- 到圓心距離相等
- 圓上所有點
- 到圓心距離相等
- 那麼有人會問
- 這個距離叫什麼
- 就是到中心都相等的距離
- 就是它
- 我們稱它為圓的半徑
- 就是圓心到圓邊緣的距離
- 如果半徑是3公分
- 那麼這個半徑就是3公分
- 這條半徑也是3公分
- 這個永遠不會變
- 圓的定義就是 圓周上的所有點
- 到中心的距離都相等
- 這個距離就是半徑
- 那麼接下來還有什麼有趣的特性
- 人們會問圓有多胖？
- 也就是圓上兩點最遠的距離？
- 或者從圓上最遠的兩點把圓切開
- 那個距離是多少？
- 但它也不一定必須在這
- 我可以輕而易舉地這樣切
- 但我不會這樣切
- 因為這樣不是最長的距離
- 找到最遠的兩點切開有很多選擇
- 我們剛講了半徑
- 而最長的距離是從邊緣上一點出發經過圓心直到圓上另一點
- 所以實際上就是兩條半徑
- 這是一條半徑
- 這邊也是一條半徑
- 我們稱圓上最遠兩點間的距離
- 為直徑
- 因此這就是圓的直徑
- 直徑與半徑的關係很簡單
- 直徑等於半徑的二倍
- 接下來 大家想知道的可能是
- 圍繞圓一周有多長？
- 因此你用捲尺來量
- 就像這樣來量
- 就像這樣來量
- 這個距離有多長？
- 我們稱這個距離為圓的周長
- 現在 我們知道了半徑與直徑的關係
- 那麼周長與直徑有什麼關係呢？
- 如果不習慣用直徑
- 搞清半徑與周長的關係很簡單
- 很久很久以前
- 人們用捲尺
- 不斷測量周長與半徑
- 假設當時的捲尺還沒有那麼精確
- 假設他們測量的這個圓的周長
- 差不多是3
- 在測量圓的半徑
- 或者是直徑
- 直徑差不多是1
- 他們把數據記下
- 他們對這個比例很擔心
- 讓我寫下這個
- 即周長與直徑的比例
- 假設他們測量的就是這個圓
- 測量的是這個圓
- 當時捲尺不是很精確
- 他們環繞圓測量
- 環繞一周的距離
- 大約是3公尺
- 測量直徑
- 大約是1公尺
- 這很有意思
- 那麼周長與直徑的比例就是3
- 因此有可能所有圓的周長都是直徑的三倍
- 但只是對這個圓成立
- 那麼其他的圓呢
- 就像這樣 我畫小一點
- 他們測量這個圓
- 圓周是6公分
- 當時的捲尺不是很精確
- 測量顯示
- 直徑大約是2公分
- 再次顯示
- 周長與半徑的比是3
- 哇 這個圓的很有趣的特性
- 那麼有可能 任何圓的周長
- 與直徑的比例都是一個固定的數值
- 因此他們決定進一步研究
- 測量也更加精確了
- 當測量更加精確後
- 確信直徑絕對是1
- 直徑絕對是1
- 但是測量周長發現
- 周長實際是3.1
- 個圓也是這樣＿
- 隨著度量日益精確
- 他們發現周長與直徑的比更接近3.1
- 慢慢地就得出這個數字
- 測量不斷精確
- 得出的數字是3.14159
- 發現這是個無限不循環小數
- 這個神奇的數字不斷出現
- 這個數字對於宇宙來說如此重要
- 因為圓在宇宙中很重要
- 這個比對於任何圓都成立
- 圓周長與直徑的比就是
- 這個神奇的數字人們還給它起了個名字
- 稱之為pi
- 或者是拉丁希臘文的π
- 這就代表了
- 宇宙中這個神奇的數字
- 最初這個字母只是代表周長與直徑的比
- 但隨著對數學的了解
- 你會發現它還出現在其他地方
- 它就是宇宙中最基本的數字之一
- 讓人們覺得宇宙必有規則所在
- 但是 我們數學中怎麼用π呢？
- 我們知道 周長與直徑的比
- 但我說比的時候
- 就是字面意思 周長除以直徑
- 就得到π
- π就是指這個數字
- 我可以寫下3.14159一直無限不循環下去
- 但寫下去只是浪費空間罷了
- 而且也讓計算更麻煩了
- 因此人們只在這兒寫上希臘字母π
- 那麼 這怎麼產生關聯呢?
- 兩邊可以都乘以直徑
- 那麼周長就是
- π乘以直徑
- 又因為直徑是半徑的二倍
- 因此周長也是
- π乘以2r
- 更常見的形式則是
- 2πr
- 我們可以用這個公式解決一些問題
- 假設有一個圓
- 我們已知半徑
- 半徑是3
- 半徑是3 我寫下來 半徑是3
- 加個單位 就假設是3公尺
- 求圓的周長
- 周長等於2π乘以半徑
- 因此就是 2π乘以半徑
- 就是乘以3公尺
- 也就是6πm
- 6πm
- 我可以把它算出來
- 記住π只是一個數字
- π是3.14159無限不循環
- 如果6乘以這個數
- 就過就是18點多
- 如果有計算器 你可以算出來
- 但是為了簡單 人們一般就直接寫π
- 我也不知道6乘以3.14159具體等多少
- 結果大概是18 19左右
- 差不多就是18點多
- 因為我沒有計算器
- 就只寫6π
- 不寫出具體數字了
- 實際上 這肯定不會超過19
- 現在再看一個問題
- 圓的直徑是多少？
- 如果半徑是3 那麼直徑就是半徑的二倍
- 就是3乘以2 或 3加3
- 就是6公尺
- 因此周長是6πm 直徑是6公尺
- 半徑是3公尺
- 再換一個方式看
- 假設另外有一個圓
- 這有另外一個圓
- 已知周長是10m
- 10πm就是周長
- 如果用捲尺量圓周長
- 求圓的直徑
- 我們知道直徑乘以π
- π乘以直徑等於周長
- 也就是10公尺
- 因此兩邊都除以π
- 就解決問題了
- 直徑就是10m/π
- π只是一個數字
- 如果你有計算器
- 你可以用10除以3.14159
- 你會得到3點多公尺
- 我心算不出來
- 這是一個數字
- 但為了簡單 我就只寫π
- 那麼半徑呢？
- 半徑是直徑的一半
- 這個距離是10/π
- 如果求半徑
- 乘以1/2就行了
- 就是1/2乘以10除以π
- 是1/2乘以10
- 約去2
- 就是5 就是5/π
- 半徑就是5/π
- 這沒什麼神奇的
- 我覺得最迷惑人的是
- π是一個數字
- π是3.14159無限不循環
- 有幾千本書都研究過π
- 也許沒有幾千本
- 我有點誇張了
- 但是你可以寫關於π的書
- 它只是一個數字
- 一個獨特的數字
- 如果你想按照
- 平常寫數字的方法
- 你可以把這個約掉
- 但是人們往往
- 就直接寫π
- 不管了 我也要把π寫在這兒
- 下次 我將講圓的面積
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