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加州幾何: 圓的面積、弦和切線 (英): 71-75，圓的面積、弦和切線
相關課程
- 現在 我們來做第71道題
- 問題是 這個三角形中的x是多少
- 我們來應用勾股定理
- 你可以看到 邊長AB和邊長AC
- 是相同的 所以兩個底角
- 是相同的
- 如果兩個底角相同 而且
- 兩角之和是90° 則每個底角
- 都是45°
- 因爲它們是相同的
- 所以這是一個45 45 90 的三角形
- 如果你現在還沒有印象的話 你可以記住
- 一個45 45 90 的三角形中直角邊與斜邊的關係
- 但其實你沒必要死記硬背
- 你可以在這裡證明出來
- 有時 比如在標準化考試裏
- 這樣做更迅速
- 那麽 勾股定理告訴了我們什麽呢
- 它告訴我們 一條直角邊的平方 也就是x²
- 加上另一條直角邊的平方 即加上x²
- 等於斜邊的平方
- 即等於10² 也就是100
- 所以我們得到 2x²=100
- x²=50
- 兩邊同時除以2
- 之後能推導出什麽
- 我們可以說x=√50
- 有什麽可以化簡的地方麽
- 我想一想
- 對 50=25×2
- 所以x=
- √25×√2
- 也就等於5√2
- B選項
- 第72題
- x以英尺爲單位時的數值是多少
- 之前我們曾在題目中見到過一個30 60 90的三角形
- 這又是一個
- 30° 90° 這些角加起來應是180°
- 這個角的大小爲60°
- 我畫了一張圖
- 所有的這些
- 我想這是記住30 60 90三角形
- 的邊長的好機會
- 因爲這是你需要知道的
- 它非常重要
- 尤其是當你參加標準化考試
- 或者解三角形的時候
- 所以我會告訴你普遍的規律
- 我在這裡再畫一個
- 這是另一個30 60 90的三角形
- 這個明顯是斜邊
- 我把這個叫做30°邊 它對著
- 30°角 也是最短邊
- 所以總的規律是 如果這一條邊的長度是x
- 那麽斜邊的長度就是2x
- 我們在之前的影片中也看到過這樣的情形
- 然後你可以在這裡用勾股定理
- 解出剩余的一條邊
- 你只需記住斜邊長
- 等於最短邊長的2倍
- 在這裡 哪一個是最短邊
- 是30度角的對邊
- 它的長度是7
- 所以 斜邊長是它的2倍 也就是14
- 然後你可以使用勾股定理來
- 解出x
- 你也可以記住中邊
- 或者說除斜邊外最長的邊 或者說60°邊
- 即60°角的對邊
- 等於最短邊乘√3
- 在這裡 x=7×√3
- 所以x=7√3
- 不要直接相信
- 你可以確信這個是那個的2倍
- 我們在之前的影片中曾證明過這一點
- 但你可以在這裡應用勾股定理
- 7² 即49 再加上x²
- 等於斜邊長的平方
- 14²=196
- 兩邊都減去49
- 你會得到x²=196-49=…157
- 對嗎
- 我來檢驗一下
- 14×14
- 4×4=16
- 56
- 140 對
- 196
- 如果從中減去49 這是8
- 這是16 我們得到7
- 對不起 是147
- 還好我檢查出了錯誤
- (空)
- 好的
- 所以x=√147
- 147=49×3
- x=√(49×3)
- 那就等於
- √49×√3
- 就等於7×√3
- 這就是我們得到的結果
- 但也許記住60°角所對的邊的長度
- 等於√3倍的
- 短邊長會更容易些
- 還有短邊長等於斜邊長的一半
- 無論如何 你練習得越多
- 就能理解得越深
- 好 一個正方形外切於一個圓
- 圓面積與
- 正方形面積的比是多少
- 我來畫出圓和正方形
- (空)
- 嗯 我想足夠靠近了
- 我們知道正方形在外面
- 因爲它和圓相切
- 圓面積與
- 正方形面積之比是多少
- 這個圓的圓心
- 在這裡
- 這是它的半徑
- 我們把它設爲r
- 那麽正方形的面積是多少呢
- 如果這是半徑 那這個也是半徑
- 所以正方形的一條邊的長度是2r
- 所以這條邊的長度也是2r
- 這是個正方形 各邊的長度相等
- 題目問圓面積和
- 正方形面積的比值是多少
- 正方形的面積等於2r×2r
- 也就是4r²
- 圓面積等於πr²
- 你最好學過圓面積公式
- 分子和分母同時除以r²
- 剩下的是π/4
- 這就是D選項
- 第75題
- 在下面的圓中 AB和CD是相交於E的弦
- 不錯
- 如果AE等於5 BE等於12
- 那麽DE的長度是多少
- CE等於6
- 求DE的長度
- 我們把它設爲x
- 爲節省時間 我現在不打算證明它
- 但這是一個圓內弦長的一個簡潔的性質
- 如果有兩條弦相交於圓內
- 那麽每一條被分割成的
- 兩段的長度
- 的乘積相等
- 在這裡 5×12
- 弦AB的兩段 5×12
- 等於這兩段的長度
- 的乘積
- 等於6x
- 所以得到 60=6x
- 兩邊同時除以6 得到x=10
- 這就是選項C
- 在這個影片結束後想想這是爲什麽
- 會是很有趣的
- 擺弄一下這些弦
- 並向你自己證明任何時候這都是對的
- 至少你從直覺上
- 可以理解它
- RB與一個圓相切
- 相切指的是與圓
- 僅有一個公共點
- 而且事實上切線垂直於
- 切點所在的半徑
- 這就是那一點的半徑
- 圓心在A
- 這是一個半徑
- 它在B處於圓相切 所以它與
- 經過這一點的半徑互相垂直
- BD是直徑 不錯
- A是圓心 這比較明顯
- 題目問角CBR的大小是多少
- 問題是這個角等於多少度
- 我無意地這麽做了
- 我們知道當一條直線與一個圓相切時
- 它與通過切點的半徑垂直
- 所以整個角的大小是90°
- 我們把需要求的角
- 設爲x
- 它是25°的余角
- x+25=90
- 兩邊都減去25 得到x=65°
- 就是B選項
- 好 下次影片見
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