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加州幾何: 反證法 (英): 4-6, 反證法
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- 現在來看第四題，題目給了我們一個定理
- 假設這個三角形最多有一個鈍角
- 好
- 愛德華多要反證此定理
- 反證的意思是，
- 好吧，如果這個定理不屬實呢？
- 讓我來證明這個定理不可能發生
- 我們來看看愛德華多到底做了什麼
- 他先假設一個三角形有角A、B、C，而角A與角B
- 都是鈍角
- 愛德華多該如何反證這個定理？
- 讓我畫出愛德華多的理念
- 我現在這樣畫圖其實非常困難
- 所以這真的不是按照比例畫的
- 愛德華多假設角A與角B皆是鈍角
- 代表這兩個角都大於90度
- 我們假設這是角A
- 而這是角B
- 角B也大於90度
- 這就是鈍角的意思
- 而愛德華多該如何反證這個定理？
- 說實在，在看選項之前，先想想
- 我們對於三角形的定義是什麼？
- 是所有內角和等於180度，對吧？
- 而若這是角A，這是角B，這是
- 角C
- 我們知道角A加角B加角C必須等於
- 180度，對吧？
- 也可以說，角C等於180度
- 減角A減角B
- 也可以說，其實我只是在列出很多種
- 切入方法，
- 角C等於180度減角A加角B，對吧？
- 好，讓我請問你，
- 若我們依照愛德華多的方法，假設
- 角A和角B皆大於90度，那A加B
- 會至少大於多少？
- 如果這個大於90，這個也大於90
- 那A加B一定會大於90加90
- 所以一定會大於180
- 如果這個大於180，而我們再減去180
- 就是說若角A大於90度
- 角B也大於90度，再從這個方程式中
- 減去
- 從這個方程式來看
- 若這兩個都大於90度，那這整個
- 都大於180度
- 由此可知，角C必須
- 小於0，但角度沒有負數
- 所以這就是反證
- 如此你便可以說，一個三角形裡
- 不能有一個以上的角度是大於90度的
- 也就是不能有多於一個的鈍角
- 這就是你的反證方法
- 我們來看看剛剛所證的能不能
- 從這些選項中選出答案
- 若三角形中的兩個角的角度相同，那對邊
- 長度相等
- 錯
- 如果兩個互補的角度相等，那每個
- 角度都是90度
- 我們並沒有使用這個方法
- 三角形中最大的角度的
- 對邊會是最長的一邊
- 不對
- 三角形內角和等於180度
- 這是我們第一個所列出的式子
- 所以答案是D
- 這就是愛德華多所使用的反證方法
- 下一題
- 第五題
- 好，這個
- 這是個很長的題目
- 讓我看看能不能把整個題目都貼上來
- 貼上了
- 好
- 這應該可以放進整個螢幕
- 我們來看看，題目說，使用以下的證明來回答
- 下列問題
- AB邊等於BC邊
- 所以可以說，這個邊等於這個邊
- 這是題目所說的
- D是AC邊的中點
- 意思是D到A和C等距離
- 也就是AD等於DC
- 讓我寫下來
- 請證明三角形ABD與三角形CBD全等
- 好，就你所知，全等三角形
- 指兩個完全一模一樣的三角形，只是
- 或許顛倒了
- 它們顛倒過後會長的一模一樣
- 若只是相似三角形，那也可以有
- 不同長度的邊
- 它們只是形狀一樣
- 但伸縮的大小不同
- 而全等三角形是指相似三角形
- 但邊長都相等
- 但就算它們有相同的邊長，它們可以被
- 翻轉
- 例如，以這個為例
- 三角形ABD看起來是三角形DBC的倒影
- 若只用觀察的，它們看起來像是
- 相等的角度
- 我們來看看該如何證明
- 第一個條件，AB長等於BC長
- 這是題目所給的
- D是AC的中點
- 這也是題目所給的
- AD等於CD
- 這是因為D是AC的中點
- 這是剛剛所提的，中點的定義
- 好
- BD等於BD，當然
- 所有東西都等於自己
- 這說明，這個三角形的BD邊等於
- 這個三角形的BD邊
- 好，倒影原理
- 簡單的概念，華麗的名詞
- 最後，他們說三角形ABD等於
- 三角形CBD
- 好，利用上述的條件，
- 我們可以看出它們有
- 一模一樣的三邊長
- 兩個三角形都有BD邊
- 兩個三角形都有AD邊或者DC邊
- 而兩個三角形也都有BA邊長
- 所以兩個三角形的所有邊長都相等
- 這是三個條件所得出的結論
- 那我們該如何證明
- 這兩個三角形全等？
- 如剛才所說，上述三個條件都證明
- 兩個三角形的三邊長都相等
- 這就是SSS
- 那是什麼？
- SSS是指邊長、邊長、邊長
- 這只是幾何學上的名詞
- 代表兩個三角形的
- 三個邊都等長
- 這代表你有角度、角度、邊長
- 這則代表你有角度，以及這個角的
- 兩個鄰邊
- 這代表這兩個三角形全等
- 這也是指這個角度以及兩個鄰邊
- 都相等
- 我們在接下來的幾個問題
- 可能會需要這些概念
- 反正，這指出這兩個三角形的
- 三邊長都相等
- 也就是說，
- 藉由SSS定理，我不太會使用專有名詞
- 藉由SSS定理，這兩個
- 是全等三角形
- 如我所說，這是解全等三角形的一個方法
- 只要三個邊
- 都等長
- 下一題
- 好
- 如下圖，AB大於BC
- 好，所以這個邊大於那個邊
- 雖然題目上看你來兩個等長
- 讓我們來看看
- 若我們假設角A等於
- 角C，代表AB等於BC
- AB等於BC
- 我不知道你有沒有看過這種題目
- 但你學過若有兩個全等的角
- 或兩個角度相同
- 這就是在說明角A
- 等於角C
- 題目只是表示這兩個
- 角度相同
- 這就是全等的定義
- 就是角度相等的意思
- 你可以說角A等於角C
- 也可以因為兩個角相等，代表
- 兩個對邊
- 也會相等
- 所以這個邊
- 會等於那個邊
- 這就是題目所說
- AB等於BC
- 好
- 題目又說，這為反了前述的
- AB大於BC
- 好，也就是說，這樣符合AB等於BC
- 但不符合題目所給的條件
- 題目到底要求什麼？
- 這樣相違背的算式會求出什麼？
- 我們來看看，角A等於
- 角B
- 不對，不是這樣
- 我可以想出一個例子
- 假設這兩個皆為30度
- 若這兩個都是30度，加起來是60度
- 那這個角會是120度才能符合三角形的定義
- 這樣並不符合
- 上述條件
- 所以選項A一定不對
- 角A不一定要等於角B
- 角A不等於角B
- 有可能等於，是吧？
- 這三個角度是60度
- 所以角B有可能等於角A
- 這會是60度，這也是60度
- 這也是60度
- 那這樣就是正三角形了
- 所以這個選項也不對
- 角A等於角C
- 我知道題目所想表達什麼了
- 抱歉，我的錯
- 題目的意思是，AB一定大於BC
- 若我們假設角A
- 等於角C，代表
- AB等於BC
- 題目並沒有說一定是這樣
- 只是說如果我們所假設的是對的
- 但並沒有說一定是這樣
- 這就是矛盾的所在
- 因為若我們這樣假設，那AB
- 不可能大於BC
- 因為AB會等於BC
- 我知道題目所想問的了
- 所以這是一個假設
- 並沒有證明一定是對的
- 所以這不符合題目所說的
- AB必大於BC
- 好，這是對的
- 我們可以從此得到什麼結論？
- 我們假設角A
- 等於角C
- 這代表兩邊等長
- 但不符合題目所給的條件
- 因此，我們知道這兩個角度
- 不可能相等
- 因為若兩個相等，就會不符合
- 最初的假設
- 所以，我們得出
- 角A必不等於角C
- 而我們不能如此假設，因為會導出
- 另一個不符合條件的結論
- 所以正確的答案是D
- 好，下個影片見！
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