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- 我们知道这个由ABCDEF连接成的图形是正六边形
- 而且这个标准的定义明确地告诉我们
- 我们要解决的是六条边的问题 你可以简单地计算
- 你没有必要被告知这是一个六边形
- 但是这个标准的定义让我们知道所有的边
- 所有的六条边都有一样的长度
- 而且所有的六个内角都是一样大小
- 已经足够明确了
- 若是我们得知其中一条边的长度
- 由于这是一个正六边形
- 我们可以得到所有六条边的长度
- 比如说其中一条边是2√3
- 那么我现在所指这条边一样也是2√3
- 同时这条边还是2√3
- 而且我还能告诉绕着这个六边形
- 每一条边都是2√3
- 如果我们要去求这个六边形的面积
- 即找到ABCDEF这个图形的面积
- 求正多边形面积最好的方法
- 是尝试把这个正多边形分解成多个三角形
- 六边形是一种有点特殊的图形
- 也许在以后的视频中
- 我们会考虑更普遍的各种多边形的例子
- 在处理六边形的问题中你能采取的方法是
- 如果我们在这里标出这个点就让我们定义这个点为点G
- 现在我们可以说这个点是六边形的中心
- 而且当我谈论六边形的中心的时候
- 我要说的是这个点不是等距离的
- 从这里到六边形的各个位置因为这不是一个圆
- 但是我们可以说从这个点到各个顶点是等距离的
- 所以GD GC还有GB是一样长的
- 同时GA和GF同上述都是等长的
- 而且GE也是等长的
- 所以我要画一些刚才我所谈论到的
- 这是GE
- 这里是GD
- 这里是GC
- 这所有的线都是相等的
- 还有这里的点G就是中心
- 这个六边形的中心
- 我们知道这个长度和那个长度是相等的
- 同那个长度也是相等的
- 同时还有那个长度
- 那个长度也是一样的
- 还有那个长度都是相等的
- 我们也知道如果我们加
- 如果我们沿着圆移动
- 如果我们沿着圆移动像那样
- 我们就已经移动了360°
- 我们知道这些三角形
- 这些三角形都是相互全等的
- 而且我们能用很多方法去证明它
- 但是最简单的方法是去看它们有两条边
- 它们都有这条边并且这条边是互相全等的
- 因为点G是中心而且它们都有第三条共同的边
- 边长是2√3
- 所以他们全部由于边边边定理它们全部是
- 它们全部是全等的
- 如果它们是全等的
- 那么这个角在这里的这个内角
- 将会是相等的
- 这个将会是同样的对于全部的六个
- 在这里的全部的六个三角形
- 也许我们标记这个为X
- 那是X 那是X 那是X 那是X 那是X 那是x
- 而且如果你将它们全部相加我们已经绕着这个圆
- 我们已经通过了360°而且我们有六个X
- 所以得到了六个X等于360°
- 你将等式的两边都除以6那么你得到了X等于
- X等于60°
- X等于60°
- 所有的这些都是60°
- 现在这里有些有趣的性质
- 我们知道这些三角形
- 举个例子比如说三角形GBC
- 我们能应用到这六个三角形中的任何一个
- 这看起来有点小题大做了
- 但是我们知道它们确实是等腰三角形
- 因为这个距离是等于这个距离的
- 所以我们能够利用这条件去找到
- 去找到其他的角度的大小
- 因为这两个底角
- 它是等腰三角形而且这两腰是相等的
- 同样两个底角也是相等的
- 这个角与另一个角是全等的
- 我们将那里的角标为Y
- 所以你可以有Y+Y 即 2Y+60°再加60°
- 将会等于180°
- 因为任意三角形的内角
- 相加都是180°
- 然后从等式的两边都减去60°
- 你得到2Y是等于120°
- 等式的两边都除以2你得到Y等于60°
- 现在这很有趣
- 我可以不用去研究这些三角形
- 就知道这些三角形都是60°-60°-60°三角形
- 借由我们早已证明的结论
- 当我们第一次开始学习等边三角形的时候
- 我们知道等边三角形的内角都是60°
- 对于等边三角形来说
- 所有的边都是相等的
- 所以这是2√3
- 而且像这样这也是2√3
- 还有这里也是2√3
- 所以几乎所有的这些绿色的线都是2√3
- 我已经知道因为它是一个正六边形
- 这道出了所有
- 这六边形的每一条边也是2√3
- 所以我们本来就能利用这些条件
- 我们用这些条件去找到
- 实际上我们不必真的去找到这个部分
- 我等会儿会向你们展示
- 先找到这些三角形中任何一个的面积
- 然后我们只需要将这个面积乘以6
- 专注在这里的三角形
- 思考我们怎么找到它的面积
- 我们知道DC的长度是2√3
- 我们能画一条高在这里
- 我们画一条高像这样
- 然后如果我们画一条高
- 我们知道这是
- 我们知道这是一个等边三角形
- 而且我们能非常简单地证明
- 这两个三角形是对称的
- 它们都是90°
- 我们已经这两个角是60°
- 然后你只需要
- 如果你关注到这两个独立三角形的任何一个
- 你会说它们需要加到180°
- 所以这应该是30°这应该是30°
- 所有的这些角都是相等的
- 它们还有一条公共边
- 所以这两个是全等三角形
- 所以如果我们想要得到这部分的面积
- 在这里的一片派的面积
- 我们只需要找到这片的面积或者先找到这小片
- 在将这小片的面积乘以2
- 或者我们直接找到这个面积再乘以12
- 为了得到整个六边形的面积
- 所以我们怎么找到这个的面积
- 这将是底边的一半
- 所以在这里的长度让我标记为点H
- DH的长度是√3
- 然后我们是或者我们庆幸地意识到
- 这是一个30°-60°-90°的三角形
- 让我在这里画出来
- 所以这是一个30°-60°-90°的三角形
- 我们知道这长度是√3
- 我们知道而且我们已经计算过它了
- 这是2√3 然而我们并不真的需要它
- 我们真正需要找到的是这条高
- 从这个30°-60°-90°的三角形中找到
- 我们知道60°角的对边是√3
- 是√3
- 乘以30°角的对边
- 所以这也是√3
- 乘以√3
- 再乘以√3
- √3乘以√3
- 明显等于3
- 所以在这里的这条高等于3
- 如果我们要求的是这个三角形的面积
- 就是在这里的这个三角形
- 是底乘以高的一半
- 所以这小片的面积
- 就是我们底的一半
- 在这里的这个底
- 实际上让我们回头看看
- 我们甚至没有必要担心这件事
- 让我们直接关注这个较大的三角形
- 所以我倒回去一点
- 因为现在我们已经得到了整个的底和高
- 如过我们关注我们得关注这个三角形GDC的面积
- 所以现在我将关注
- 现在我关注在这里的整个三角形
- 这个面积等于底乘以高的一半
- 等于1/2
- 我们的底是多少
- 我们早已经知道我们的底
- 它是我们六边形的一条边
- 它是2√3
- 所以在这里的这个整体
- 所以乘以2√3
- 然后我们想要讲这个乘以我们的高
- 而且我们已经利用30°-60°-90°三角形找到了
- 我们的高是3
- 所以乘以3 消去 1/2 和 2
- 我们剩下了3√3
- 这只是这些的小的楔形物中一个的面积
- 如果我们想要找到整个六边形的面积
- 我们只需要将我们刚才求得的面积乘以6
- 因为这里有六个这样的三角形
- 所以这将等于6乘以3√3
- 即18√3 我们成功得到了六边形的面积
初次見面
好像又更了解你一點了
要常常來找我玩喔！
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