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用正方形與圓形找出角度的問題 (英): 找出角度的挑戰性題目
相關課程
- 我們知道四邊形ABCD是一個正方形
- 從中我們得知它的四個邊是等長的
- 以及所有的內角都是90度
- 同時我們知道FG是BC的垂直二等分線
- 所以我們已經證明了它是垂直的
- 也就是說這是一個九十度角 但是它也等分了BC
- 所以這一側的長度與另外一側相等
- 然後題目告訴我們弧AC是位於上方的一段曲線
- 弧AC是圓B的一部分
- 所以這是一個以B爲圓心的圓
- 所以這是圓的中心
- 這是圓的一部分
- 在圓的左下角給出這樣的信息
- 實在是一個很好的信息
- 題目中提出的問題是求出角BED的大小
- 所以BED是什麽呢
- 所以這個就是BED
- 所以我們需要求出
- 這裡這個角的大小
- 在這裡我鼓勵大家暫停一下然後嘗試求解
- 或許你可以在這裡暫停
- 然後嘗試在沒有任何幫助的情況下求解
- 現在我可以給你一點提示
- 如果你第一次嘗試沒有成功
- 然後你應該在這個提示之後再次暫停
- 嘗試著畫出一些
- 可以將這個角分成若干個角的三角形
- 這樣可能會變得容易一些
- 你可能會使用我們知道的關於三角形的知識
- 在這之後我會演示如何解答
- 你可以在任何地方暫停
- 如果你知道怎樣解決這個問題
- 然後再自己獨立完成它
- 所以關鍵的地方就是要意識到這是一個圓
- 所以B點
- 與這段圓弧上任意一點的連線
- 等於這個圓的半徑
- 所以AB等於這個圓的半徑
- BE等於這個圓的半徑
- 我們可以不停的畫出其他的線段
- 它們的長度都等於這個圓的半徑
- BC 等於這個圓的半徑
- 在這裡我們可以思考片刻
- 許多難度較高的幾何問題
- 其實都是圍繞著畫出正確的輔助線
- 或者想象出正確的三角形
- 我在這裡畫一條線可能就會讓大家
- 解決這個問題的思路豁然開朗
- 連接線段EC
- 要畫得盡可能得直
- 其實我可以做得更好的
- 所以這就是線段EC
- 現在一些東西開始變得有趣了
- 因爲大家可以想一下
- 三角形EBG與ECG的關係是什麽
- 它們共同擁有了一條邊
- 就是這邊的這一條
- 它們共同擁有邊EG
- 然後BG是等於GC的
- 然後它們都有一個九十度的角
- 它們在這裡都有90度的角
- 在這裡有90度的角
- 所以你能看到"邊角邊"
- 這裡的"邊角邊" 這裡的兩個三角形是全等的
- 所以我們得知三角形EBG和三角形ECG是全等的
- 在三角形ECG中我應該強調的是C而不是E
- ECG是由"邊角邊"得到的全等
- 由"邊角邊"得到
- 而全等也告訴了我們所有對應的邊和角
- 都是彼此相等的
- 這告訴了我們在這裡
- EC與EB是相等的
- EC等於EB
- 所以我們得到了EB等於EC
- 哪條線段的長度也跟它們相等呢
- 我們再次發現這就是這個圓的半徑
- BE的長度等於從圓心到那段弧的距離也就是一倍的半徑
- BC同樣也是
- 它的長度也是圓心到弧的距離
- 所以BC的長度也等於這個值
- 所以我可以畫出另外的三個部分來
- 我是說直線的整體
- 而不是其中的某個線段
- 我是說BC的整體
- 所以這邊的這個三角形是什麽三角形呢
- 三角形BEC
- 三角形BEC是等邊三角形
- 等邊的
- 所以我們知道它的三個邊是相等的
- 從中我們得知它的三個角是相等的
- 這也告訴了我們角BEC的大小是60度
- 我們尚未解決這個問題但是已經很接近了
- 在這邊角BEC的大小是60度
- 這讓我們解決了這個問題的一部分
- 角BEC是角BED的一部分
- 如果我們可以計算出角CED的大小
- 如果我們可以計算出這邊這個角的大小
- 然後我們再加上60度這個問題就解決了
- 這樣我們就計算出了整個角BED的大小
- 讓我們想一下怎樣才能求出這邊的這個角
- 我們已經知道了一係列
- 有趣的條件
- 我們知道在這邊的這個長度
- 等於圓的半徑
- 我們也知道位於下方的這個長度
- 而這裡是一個正方形
- 我們知道下邊的這個長度
- 是等於上邊的這個長度的
- 就是說這些的長度都是相等的
- 並且這個長度等於圓的半徑
- 我們已經畫出了這三條斜線
- BC的長度與那個長度相等
- 所以四個邊的長度都與之相等
- 因爲這是一個正方形
- 讓我把這個寫下來
- 我就這樣寫下來
- 因爲這是一個正方形
- 我們知道CD等於BC
- 而我們已經知道了BC等於EC
- 而EC等於EB
- 重要的是我們需要發現
- 這兩者的長度是相等的
- 而這也是它爲什麽有趣的原因
- 這讓我們知道這是一個等腰三角形
- 這個是一個等腰三角形
- 而任何一個等腰三角形中如果你知道它的兩條相等的邊
- 那麽它的兩個底角就是相等的
- 也就是說無論這個綠色的角是多大
- 這個角都是與它等大的
- 所以就這樣
- 我們就可以計算出這邊這個角的大小了
- 我們可以從180度裏減去那個角
- 然後再除以二來得到這兩個角
- 因爲我們知道它們是相等的
- 然而我們怎麽計算出這個角呢
- 我們知道位於上方的這些角度
- 我們可以計算出這邊的所有角度
- 我們知道這是一個等邊三角形
- 所以這邊的這個角一定是60度
- 這個是60度而這個也是60度
- 其實我可以在這邊寫下
- 這與角BCE是相等的
- 角BCE的大小
- 所以這個角是60度的 而我們知道這是一個正方形
- 所以這邊的這個角是一個直角
- 那麽角ECD的大小是什麽呢
- 這邊這個角的大小是多少呢
- 我用一種新的顏色標出來
- 這邊的這個角一定是30度
- 所以那個角是30度
- 現在我們可以解出這個問題了
- 可能你已經知道我們要來解出這兩個底角了
- 如果我們設這個爲x
- 因爲我們知道它們是相等的
- 我們得到x+x+30度
- 而x+x+30度是等於180度的
- 也就是說三角形的內角和是180度
- 所以我們得到了2x
- 2x+30度等於180度
- 現在兩邊同時減去30度
- 我們得到2x等於150度
- 兩邊同時除以2你就會得到x=75
- 我們得到了x=75 現在我們已經接近終點了
- 我們必須要計算出角BED
- 設那個角爲C
- 那麽x與角CED的大小相等
- 所以角BED等於角CED加角BEC
- 也就是60度加75度
- 所以這就將會是
- 準備好慶祝結束了嗎
- 這就等於75度加60度
- 我們得到135度
- 這樣我們就解出了這道題
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