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證明 - 平行四邊形的對角線互相平分 (英): 證明如果四邊形的對角線平分，就是平行四邊形
相關課程
- 好啦 現在我們有一個平行四邊形在這裡
- 我們想證明的是它的對角線互相平分
- 於是 我們第一件想到的事情 這些不僅僅是對角線
- 這些線是和平行線相交的線
- 所以 你也可以把他們看成是截線
- 如果我們留意DB的話 我們看到它和DC
- AB相交 它在這裡
- 我們知道這些是平行四邊形
- 我們知道它們是平行的
- 這是一個平行四邊形
- 內錯角必須是相等的
- 所以 這個角等於這裡的這個角
- 讓我們在這裡做個記號
- 我們把中間點叫做E
- 所以 我們知道角ABE肯定等於角CDE
- 因爲它們是一對平行線的截線
- 的兩個內錯角
- 內錯角
- 如果我們看對角線AC 或者我們叫它截線AC
- 我們可以做出相同的論證
- 它和兩條線相交於這裡和這裡
- 這兩條線是平行的
- 所以 內錯角肯定是相等的
- 所以 角DEC肯定 讓我把這個寫下來
- 角DEC肯定和角BAE相等
- 這裡面的原因是完全一樣的
- 現在我們有些有趣的東西
- 如果我們看這個上面的三角形和這個下面的三角形
- 有一對對應的角是全等的
- 有一對夾在對應角之間的邊是相等的
- 讓我把這個明確地寫下來
- 我們已經知道並且已經在前面的影片裏證明了
- 平行四邊形的對邊互相平行
- 並且相等
- 所以 我們從前面的影片可以知道這邊
- 和這邊是相等的
- 所以 讓我回到我剛才說的話
- 我們有兩對對應的全等角
- 我們有夾在中間的一對邊是相等的
- 然後我們又有另一對對應的角
- 是相等的
- 所以 我們知道這個三角形全等於這個三角形
- 因爲角邊角
- 所以 我們知道這個三角形 我將會從藍色
- 到橙色到最後一個
- 根據角邊角定理 三角形ABE全等於藍 橙
- 然後是最後一個 三角形CDE
- 現在這個對我們有什麽幫助呢
- 我們知道當兩個三角形全等的時候
- 所有他們對應的特征 特別是對應的邊
- 是相等的
- 所以我們知道邊EC對應著EA
- 或者我們可以說邊AE
- 對應著邊CE
- 它們是全等三角形的對應邊
- 所以 它們的度量或者說它們的長度肯定是相同的
- 所以 AE肯定等於CE
- 讓我用兩劃來做記號因爲我在這裡已經用了一劃
- 現在 根據同樣的邏輯我們知道DE
- 讓我強調這點 我們知道BE肯定等於DE
- 我重覆一遍 他們是兩個全等三角形的對應邊
- 所以他們肯定有相同的長度
- 所以 這是全等三角形的對應邊
- 所以 BE等於DE
- 於是我們完成了我們的證明
- 我們證明了 看 對角線DB把AC分成
- 了長度相等的兩段 而且反之亦然
- AC把DB分成了長度相等的兩段
- 所以 它們互相平分
- 現在 我們來進行另外一個方向
- 讓我們來證明如果一個四邊形的兩條對角線
- 互相平分 那麽這是一個
- 平行四邊形
- 好的 我們來看
- 好 我們來假設兩條對角線
- 互相平分
- 所以 我們假設這個等於這個
- 然後這樣 這個等於這個
- 由於我們想證的是 只是一個平行四邊形
- 要做到這點我們只需提醒我們自己
- 我們只需提醒我們自己這個角將會
- 等於這個角
- 這是我們知道的第一點 因爲它們是對尖角
- 所以 讓我寫下來
- C 標記著這一點 角CED等於
- 或全等於這個角 角BEA
- 然後這個 這是什麽 噢 這個證明了
- 這兩個三角形是全等的 因爲我們有兩對對應邊
- 和它們之間的夾角是相等的
- 所以 我們知道這個三角形 我把它弄成黃色
- 三角形AEB全等於三角形DEC 根據邊角邊
- 簡稱SAS定理
- 有道理
- 現在 如果我們知道兩個三角形全等 那麽我們知道
- 所有對應的邊和角都大小相等
- 所以 舉個例子 我們知道角CDE全等於
- 角BAE
- 而這只是全等三角形的對應角
- 現在我們有這種兩條線的截線
- 如果內錯角相等 那麽這兩條線互相平行
- 我們看到它們是的
- 這兩個是候選的內錯角
- 它們是相等的
- 所以 AB肯定等於CD
- 所以 AB 讓我們畫一個箭頭 AB肯定平行於CD
- 根據平行線內錯角相等
- 我只是在寫縮寫 而不是晦澀的全過程
- 盡管我已經 把它們說出來了
- 然後我們可以做完全一樣的事 就如我們剛才證明了
- 這兩條邊是互相平行的 我們可以用同樣的邏輯
- 來證明這兩條邊是互相平行的
- 我不會把它寫出來
- 這個證明和剛才證這兩條邊相等的完全一樣
- 所以 首先 我們知道這個角等於在這裡的
- 這個角
- 然後我們知道 事實上讓我寫出來 我們知道
- 角AEC等於角DEB 我應該說
- 它們是對尖角
- 而這也是這裡的原因
- 對尖角
- 接下來我們看到三角形AEC全等於
- 三角形DEB 根據邊角邊
- 然後我們根據SAS得出結論 三角形AEC全等於
- 三角形DEB
- 現在 我們知道對應角必須相等
- 我們證明這個角 比如說 角CAE
- 肯定全等於角BDE 這是全等三角形
- 的對應角
- 所以 CAE 讓我用一種新的顏色
- CAE肯定等於BDE
- 現在我們有一根截線
- 內錯角是相等的
- 所以 這根線所截的兩條線
- 肯定是互相平行的
- 所以 這個全等於這個
- 然後 我們有AC平行於BD
- 因爲內錯角相等
- 我們完成了
- 我們已經證明了如果對角線相互平分
- 如果我們從這個開始 我們可以到達這點
- 嘿 這個四邊形的對邊肯定互相平行
- 或者ABCD是個平行四邊形
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