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證明 - 平行四邊形的對角全等 (英): 顯示平行四邊形的對角的確是全等的
相關課程
- 我將在這個影片中向大家證明
- 平行四邊形的對角相等
- 如圖 我們要證明角CAB與BDC相等
- 也就是說 要證明的是這個角和那個角相等
- 並且角ABD與
- 角DCA相等
- 要證明這些等量關係 我們必須利用好平行線和截線
- 而圖中性線段既可以當成其中一條線段的平行線段
- 又可以作爲另一組平行線段的截線
- 我們把這些線段都延長一點
- 使得線段間截與被截的關係看起來更明顯
- 你可以自己把圖畫下來並且嘗試證明它
- 因爲全部的證明只利用了被截平行線與截線産生的
- 同位角以及內錯角
- 我們先標識出這個角
- 因爲黃色已經被用過了 所以我換一個新的顏色
- 讓我們從角BDC的等量關係開始
- 我把角BDC在這標記一下
- 角BDC與這邊這個角
- 互爲內錯角
- 實際上我們可以延長這邊這個端點
- 我把新的端點記做E
- 所以 由於平行線與截線構成的內錯角相等
- 角CDB與角EBD相等
- 這條是截線 這兩條是平行線
- AB 或者說AE 與CD互相平行
- 很好
- 如果我們稍微換個角度想想
- 將BD與AC視爲當前平行線
- 並且將AB視爲當前截線 那麽我們將發現
- 角EBD與角BAC相等
- 因爲它們互爲同位角
- 由於平行線與截線構成的同位角相等
- 所以角EBD與角BAC 或者說是角CAB 相等
- 現在 如果角CDB與角EBD相等
- 角EBD又與角CAB相等
- 那麽角CDB和角CAB相等
- 綜上可知 角CDB 或者說角BDC
- 與角CAB相等
- 至此 我們已經證明了第一部分
- 接下來 我們將利用相同的思想來證明
- 剩下的一對對角相等
- 首先 我們將這條線視爲截線
- 也就是說 我們將AC視爲平行線AB與CD的截線
- 我在這再補一個點
- 記爲點F
- 所以 角ACD與角FAC相等
- 因爲它們互爲內錯角
- 現在我們將AC與BD視爲當前平行線並且
- 將AB視爲當前截線
- 那麽 角FAC與角ABD相等
- 因爲他們互爲同位角
- 由於角FAC與角ABD互爲同位角
- 所以它們相等
- 總結一下 首先我們將AC視爲截線
- 將AB與CD視爲被截平行線
- 之後將AB視爲截線 將BD與AC視爲被截平行線
- 顯然 如果角ACD和角FAC相等
- 角FAC與角ABD相等 則角ACD和角ABD相等
- 所以 若四邊形對角相等
- 與四邊形是平行四邊形
- 互爲充要條件
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