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證明 - 平行四邊形的對邊等長 (英): 是平行四邊形若且唯若對邊全等
相關課程
- 在這個影片裏我們將要證明一些
- 比較簡單的關於平行四邊形的問題
- 第一條題目說
- "如果我們有這麽一個平行四邊形ABCD
- 讓我們來證明平行四邊形的對邊長度相等"
- 所以我麽要證明AB等於DC以及AD等於BC
- 先讓我在這畫條對角線
- 我畫了條對角線
- 這條對角線取決於你怎麽看它 它和兩組
- 平行線相交所以你也可以稱它爲
- 一條截線
- 算了讓我重畫一條整潔一點的對角線
- 我能畫的比這個更好
- 好吧這條線並不比前一條畫的好
- 我只能畫成這樣了
- 所以我們可以把對角線DB
- 看成平行線AB和DC的截線
- 如果你這麽看你可以發現角ABD
- 等於
- 所以這裡這個角ABD
- 將會等於角BDC 因爲他們是內錯角
- 現在這裡有條截線還有平行線
- 因此我們知道角ABD等於
- 角BDC
- 現在你還可以把對角線DB
- 看成這兩條平行線的截線
- 就是另外這對平行線AD和BC
- 如果你這麽看你會立即發現那個角
- 就是角DBC等於
- 角ADB 理由和前面一樣它們是截線和平行線相交
- 形成的內錯角
- 所以我可以這麽寫
- 當截線和平行線相交的時候
- 所形成的內錯角是相等的
- 我們也可以發現這兩個三角形
- 三角形ADB和三角形CDB共享一條邊
- 因此這條邊肯定是相等的
- 這點爲什麽有用呢
- 好吧也許你已經意識到了我們剛剛展示了這兩個
- 三角形它們粉色的角和這條邊都是
- 相等的還有綠色的角所以
- 粉色的角這條邊還有綠色的角都是相等的
- 因此我們剛剛通過角邊角定理證明了
- 這兩個三角形是全等的
- 讓我把它寫下來
- 我們已經證明了三角形就是這個由無標記的點和粉色點
- 還有綠色點圍成的三角形ADB和這個三角形全等
- 就是這個由無標記點 粉點還有綠點圍成的三角形CBD
- 同樣也是通過角邊角全等證明的
- 所以這是角邊角全等定理
- 好吧這對我們有什麽用呢
- 如果兩個三角形全等那它們所有相應的
- 角和邊都會相等
- 比如DC邊對應的是BA邊
- 底下這個三角形的DC邊對應
- 頂上三角形的BA邊
- 所以他們一定相等
- 所以DC
- 沒錯我們得到DC等於BA因爲
- 他們是全等三角形的對應邊
- 所以同理可得這個等於那個
- AD對應的是CB
- 同理可得AD等於CB
- 就因爲它們是對應邊
- 現在我們已經完成了證明
- 我們證明了平行四邊形的對邊相等
- 現在讓我們換個思路
- 比如說我們知道有一種四邊形
- 它的對邊是相等的
- 我們能不能夠證明它是一個平行四邊形呢
- 好吧這個證明的方法和前面類似只是過程相反
- 首先我們先在這畫一條對角線
- 這麽做是因爲我們對三角形比較了解
- 所以讓我們來畫
- 讓我們開始吧
- 這是最難的一個環節讓我們拭目以待
- 畫的還不錯
- 好的
- 所以很明顯CB和它自己相等
- 所以我要這樣畫
- 這個很明顯因爲這是同一條線
- 然後這裡有些有意思的事
- 我們已經把這個四邊形分成了兩個三角形 即ABC
- 和三角形DBC
- 注意這兩個三角形的三組對應邊
- 都是相等的
- 所以通過邊邊邊定理我們可以知道它們是全等的
- 我們知道三角形 我從A點開始
- 到另一半 所以三角形ACB和三角形DBC全等
- 這是通過邊邊邊定理來證明全等
- 好吧這又對我們有什麽用呢
- 這告訴了我們所有相對應的角的
- 角度都是相等的
- 所以比如說角ABC和
- 讓我給它做個記號 角ABC和
- 你可以看到和角DCB是相等的
- 和角DCB相等
- 因爲它們是全等三角形裏的對應角
- 我在這因爲要節省時間所以寫的比較簡略
- 因爲三角形ABC和三角形DCB全等
- 所以這兩個角相等
- 這非常有意思因爲在這有一條長長的線
- 它和AB還有CD相交而且我們可以清楚地看見
- 這些內錯角
- 是相等的
- 也正因爲我們有這些相等的內錯角
- 我們可以知道AB和CD平行
- 所以這條邊肯定和那條邊平行
- 所以通過內錯角相等我們知道AB和CD平行
- 內錯角是截線和平行線相交形成的
- 現在根據同理
- 我們也可以知道那個角
- 角ACB和角DBC相等
- 我們知道全等三角形的對應角的
- 角度是相等的
- 所以這個角等於那個角
- 好吧它們可能是內錯角
- 它們看起是因爲這有一條截線
- 而這有兩條線但我們不確定它們是不是平行的
- 但是因爲內錯角相等
- 我們可以知道這兩條線實際上是平行的
- 所以這條邊和那條邊平行
- 所以因爲內錯角相等我們知道AC和BD平行
- 這樣就證好了
- 所以這題還是挺有趣的
- 我們已經證明了平行四邊形的對邊
- 長度是相等的
- 然後如果對邊的長度是一樣的
- 那這就是一個平行四邊形
- 所以實際上我們從兩個方向證明了這一點
- 所以我們作了一個被你們稱爲
- 若且唯若的陳述句
- 你可以說"如果四邊形的對邊平行"
- 或者你可以說"四邊形的對邊平行
- 若且唯若它們的長度相等"
- 你可以說若且唯若
- 所以如果它們平行你就可以說它們的長度相等
- 同時只有當它們的長度相同時它們才會平行
- 我們已經從兩個方向證明了這一點
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