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證明 - 菱形的面積是對角線長度相乘的一半 (英) : 我們可以拿兩個對角線長度乘起來，取的一半就是菱形的面積
相關課程
- 四邊形ABCD是個菱形
- 要證明這個菱形的面積是AC和BD乘積的一半
- 最重要的是證明該菱形的面積是
- 它兩條對角線乘積的一半
- 來看看我們知道些什麽
- 我們學了很多關於菱形的知識
- 而且 所有的菱形都是平行四邊形
- 我們還知道好多平行四邊形的知識
- 首先 我們知道
- 任意菱形的四邊邊長都相等
- 那邊的邊長等於那條邊
- 等於那條邊 等於那條邊
- 由於它是一個平行四邊形
- 它的兩條對角線互相平分
- 我們把這點記爲E
- BE等於ED
- AE等於EC
- 因爲這是一個菱形 我們在上個影片裏證明了
- 菱形的對角線不僅互相平分
- 還互相垂直
- 所以這是一個直角
- 這是一個直角
- 這兩個也是直角
- 證明這個定理最簡單的想法是
- 如果我們能證明三角形ADC全等於三角形ABC
- 再算出它們其中一個的面積 菱形的面積只需要再乘2
- 第一部分很明顯就能做到
- 依據邊邊邊全等判定
- 三角形ADC應該全等於三角形ABC
- 這條邊邊長等於那條邊邊長
- 這條邊邊長也等於那條邊邊長
- 它們共用邊AC
- 恩 這就是邊邊邊判定需要的三邊
- 因此 ABCD的面積就是
- 其中任意一個三角形 比如ABC面積的2倍
- 讓我們把它寫下來
- ABCD的面積等於ADC的面積加上ABC的面積
- 但是由於它們全等 這兩個的面積也就相等
- 所以只用將ABC面積乘2就好
- 那麽ABC的面積是多少
- 三角形的面積是底乘高的一半
- ABC的面積就是它的底乘以它的高
- 的一半
- 這條底邊多長呢
- 底邊長是AC的長度
- 我把它塗上顏色
- AC是底邊 那麽它對應的高在哪裏呢
- 我們知道這個對角線是垂直的二等分線
- 所以高就是BE
- AC乘高 也就是BE
- 這是高
- 它和底邊呈90度角
- 或者說BE是BD的一半
- 也就是底邊AC的一半
- 高BE是BD的一半
- 也就算出ABC的面積 就是那一片面積
- 那個大三角形
- 這是菱形的一半
- 我們剛剛證明菱形的面積是這個兩倍
- 如果我們退回去想 用這個條件
- 和這個條件 在這裡
- ABCD的面積應等於
- ABC面積的兩倍 就是這個
- 它是這個ABC面積的兩倍
- 二分之一乘二分之一是四分之一 乘AC 乘BD
- 然後你可以推斷出之後的步驟了
- 2乘四分之一是二分之一 乘AC 乘BD
- 相當直接 這是很簡潔的結果
- 事實上 這個命題我還沒做完
- 我會在下個影片裏完成它
- 還有很多其他的方法算平行四邊形的面積
- 大體講 核心就是 底乘高
- 由於菱形也是平行四邊形 我們能用同樣的方法做
- 我們也能用我們在這裡證明的
- 這個簡潔的小結論
- 如果我們知道斜邊長的話
- 菱形的面積是兩斜邊乘積的一半
- 這個也是個很簡潔的結論
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