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多角形內角的和 (英): 教一個簡單的方法算出任何多邊形內角的和
相關課程
- 我們已經知道了三角形的內角和
- 加起來是180度
- 如果這個角的大小是A
- 這個角的大小是B
- 這個角的大小是C 那麽A+B+C=180度
- 而對於多於三邊的多邊形情況又是怎樣的呢
- 讓我們試著探究一下有四條邊的多邊形
- 也就是四邊形
- 我將畫一個不太規則的四邊形 以表明不論我們如何畫
- 結論很可能適用於所有四邊形
- 並不只限於直角和對邊平行的情況
- 和其他特殊情形
- 事實上 那看起來有點太近似於對邊平行了
- 所以讓我這樣畫一個
- 研究四邊形的方法是
- 我們已經知道
- 三角形的內角和是180度
- 或許我們可以把它分成兩個三角形
- 從這一點開始 如果我們像這樣畫一條線
- 我們就把它分成了兩個三角形
- 如果這個角是A 這個角是B
- 那個角是C
- 那麽我們知道A+B+C=180度
- 如果這個角是X 這個角是Y 那個角是Z
- X Y Z是這些角的大小
- 我們可以知道X+Y+Z=180度
- 因此 如我我們想知道所有內角的和
- 所有的內角也就是
- B+Z 就是多邊形的兩個內角
- 加上這個角 A+X
- A+X是這個四邊形的一整個角
- 再加上這一整個角 C+Y
- 你們已經知道A+B+C是180度
- 我們也知道Z+X+Y=180度
- 所以180度再加180度就是360度
- 我想你們已經明白了這裡的總體思想
- 我們只需看一下
- 能把多邊形分成多少個三角形
- 然後乘以180度
- 因爲每個三角形的內角和是180度
- 讓我們再來看一個特例
- 然後我們就來研究一般情況
- 我們只需看一下能把多少個三角形
- 放進這裡面
- 讓我來畫一個不規則的五邊形
- 一 二 三 四 五
- 看起來有點像路邊的小房子
- 同樣地 我們可以在五邊形內部畫我們的三角形
- 這是一個三角形
- 這是另一個三角形
- 因此 我可以畫出3個不疊置的三角形
- 正好覆蓋這個五邊形
- 這是一個三角形 這是另一個 這是最後一個
- 我們知道它們每個的內角和都是180度
- 如果我們把它們的角度相加
- 這些角度之和就等於
- 多邊形作爲一個整體的內角和
- 進一步來看 這個內角很明顯
- 就是多邊形的一個內角
- 這個也是
- 當你把這個角和這個角相加
- 結果就是多邊形的這一整個內角
- 我們把那個和那個相加 就又得到了另一個內角
- 然後那個角 加那個角
- 再加那個角 你就得到了整個內角
- 因此如果你把所有
- 三角形的內角相加 你就得到了
- 這個多邊形的內角和
- 在這種情形下你有一 二 三 三個三角形
- 3乘以180度等於多少
- 300+240=540度
- 現在讓我們推廣到一般情況
- 首先
- 爲了得到前兩個三角形
- 我們最多用四條邊
- 對於四邊形 四條邊都要用到
- 對於五邊形 要用五條邊中的四條
- 一 二 接著三 四
- 因此四條邊可以給你兩個三角形
- 之後似乎每增加一邊
- 你就能再得到一個三角形
- 讓我們拿六邊形來試驗一下
- 我來看我能從中得到多少個三角形
- 一 二 三 四 五 六 六條邊
- 我由這兩條邊得到了一個三角形
- 這個六邊形的兩條邊
- 從這兩條邊我能得到另一個三角形
- 看起來在剩下的邊中
- 每一條邊都能讓我再得到一個三角形
- 因而這條邊可以得到一個三角形
- 那條邊又能得到一個
- 因此 概括地說 如果有S條邊
- S邊形
- 我們已經研究過四邊形 五邊形
- 和六邊形
- 因此我們可以假設S大於4
- 也就是說 我有一個S邊形
- 我想知道有多少個不疊置的三角形
- 可以完全覆蓋這個多邊形
- 我可以把多少個三角形放進去
- 然後我只需用三角形的個數
- 乘以180度
- 來計算這個多邊形的內角和
- 讓我們把三角形的個數
- 看做邊的條數的函數來計算
- 同樣地 我們要用四條邊
- 來得到兩個三角形
- 這裡有兩條邊
- 這裡也有兩條
- 我可以畫出一個三角形
- 我現在不去管
- 這個多邊形其他的邊
- 你可以想象把一大張畫紙放在這兒
- 這裡可能還有很多邊
- 我現在並不去考慮它們
- 由這兩條邊 我可以像這樣畫出一個三角形
- 由這兩條邊 我可以畫出另一個三角形
- 四條邊畫出了兩個三角形
- 然後 無論還剩下多少條邊
- 我已經用了四條 但在那之後
- 如果這裡有很多條邊
- 讓我畫得整齊一些
- 那麽這裡有很多條邊
- 看起來每多一條邊
- 我就可以用它再得到一個三角形
- 這條邊可以得到一個三角形 那條邊得到另一個
- 那條邊另一個 那條邊再一個
- 這條邊還能得到一個
- 例如 我畫的這個是一個非常不規則的
- 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 對嗎
- 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 這是個十邊形
- 在這個十邊形中 四條邊畫出了兩個三角形
- 另外六條邊 每條都可以得到一個三角形
- 這裡有 一 二 三 四 五
- 讓我確認一下我是不是把邊的條數數對了
- 我有 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
- 我數對了嗎 我是不是漏掉了什麽
- 哦我知道了 我必須在這兒再畫一條線
- 這是兩條不同的邊
- 我可以由它再得到一個三角形
- 這樣就得到了
- 我由4條邊得到了這兩個三角形
- 然後剩下的6條邊每條可以得到一個三角形
- 加上這6個 我一共得到了8個三角形
- 於是我們可以概括地來想
- 最初的4條邊可以得到2個三角形
- 讓我寫下來
- 三角形的個數爲2
- 我已經用了四條邊
- 剩下的邊每一條都能得到一個三角形
- 剩下了S-2條邊
- 三角形的個數是2+S-4
- 2+S-4就是S-2
- 因此 如果我有一個S邊形 我可以得到S-2個三角形
- 完全覆蓋這個多邊形
- 並且不相疊置
- 這告訴我們 既然一個S邊形有S-2個三角形
- 它的內角和就是
- S-2乘以180度 這是一個很不錯的結果
- 如果有人告訴你他們有一個102邊形
- 那麽S就等於102
- 你就可以說 好的 它的內角和就是
- 102-2 也就是100 再乘180度
- 等於180再加兩個0
- 所以18,000度就是
- 102邊形的內角和
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