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30-60-90 三角形例題 (英): 利用我們對 30-60-90 的認知解出看似很難的題目
相關課程
- 在這我們有一個長方形
- 我們假設AB的長度爲1
- 把它標記在這裏AB的長度等於1
- 條件告訴我們BE和BD把角ABC三等分
- 所以BE和BD三等分角ABC
- 三等分的意思是把一個角分成三個大小相同的角
- 所以這個角等於這個角
- 也等於那個角
- 題目讓我們求的是
- 三角形BED的周長
- 所以要靠中間這個三角形和那邊那個長方形
- 一開始這題看起來好像很難
- 因爲你不知道長方形的寬
- 怎麽著手呢 題目只給了一個邊的長度
- 其實題目給了我們許多資訊
- 在知道這是個長方形的前提下
- 我們有4條邊和4個角
- 所有的對邊都是平行的
- 所有的角都是直角
- 這些資訊已然相當足夠了
- 在確定這是個長方形的情況下
- 我們肯定知道的一件事是
- 長方形的對邊長度相等
- 這條邊的長度是1所以那條邊長也是1
- 另一個已知的條件是這個角被三等分了
- 現在我們知道這個角的角度是90度
- 這是個直角所以角度是90度
- 所以當它被三等分的時候
- 我們可以知道這個角的角度是30度
- 這邊這個角也是30度
- 那邊那個角同樣也是30度
- 現在要處理的是幾個內角爲30度60度的直角三角形
- 所以這個角的肯定是60度
- 那個角肯定也是60度
- 在這個三角形裏一個角是30度另一個角是90度
- 那這個角肯定是60度 因爲三角形內角和爲180度
- 這是個內角爲30度和60度的直角三角形
- 這是個內角爲30度和60度的直角三角形
- 然後我們可以得出這個三角形的尺寸
- 雖然它不是個直角三角形
- 但是根據我們所掌握的這種三角形的知識
- 如果我們只知道一個邊的邊長
- 我們實際上可以得出另外兩個邊的邊長
- 比如這個邊是最短的那個邊
- 這個邊和30度角相對
- 如果30度角所對的邊的邊長是1
- 那麽60度角所對的邊的邊長就是根號3
- 所以這個邊的邊長是根號3
- 這個非常有用 因爲現在我們已經得出
- 兩條直角邊的邊長
- 現在我們需要用到有關這樣的三角形的知識
- 如果你們覺得這有點玄乎
- 就是我怎麽算出了這個邊長
- 我建議你們去看一下視頻
- 我們知道在這樣的直角三角形中
- 三個邊的比是1比根號3比2
- 所以30度角所對的這個邊是1
- 這個邊就是根號3乘以1
- 這條斜邊就是2乘以1
- 所以這個個邊的邊長就是2乘以
- 那個邊的邊長所以就是2乘以1得到2
- 這個非常有意思 讓我們看看我們還能用那個邊做什麽
- 類似的事情
- 現在邊長爲1的這個邊不是30度角的對邊
- 這個邊現在是60度角所對的邊
- 60度角所對的邊就是這個邊
- 所以如果我們再一次拿這個邊乘以根號3
- 我們應該能夠得到這個邊的邊長
- 這個是60度角記住它就是這個
- 這個邊是60度角所對的邊
- 所以這個邊是那個邊的根號3分之1
- 讓我把它寫下來根號3分之1
- 我能夠求得這個邊長的理由是
- 不管這個邊邊長是多少我都拿它乘以根號3
- 這樣就能求到這個邊了
- 還能求到60度角的對邊
- 或者可以拿60度角的對邊除以根號3
- 這樣就能得到那條最短的邊即30度角的對邊
- 我拿60度角的對邊除以根號3
- 就得到了這個邊
- 然後斜邊的邊長永遠是30度角所對邊
- 邊長的兩倍
- 所以這條是30度角的對邊
- 斜邊的邊長永遠是這個邊邊長的兩倍
- 所以這條是30度角的對邊
- 斜邊的邊長永遠是這個邊邊長的兩倍
- 所以斜邊的邊長是根號3分之2
- 現在我們的進展很不錯
- 接下來我們要想法子求出裏面這個三角形
- 的周長
- 我們已經得出一個邊的長度是2
- 我們也得出另一個邊長是根號3分之2
- 然後我們只需要再求出ED的長度即可
- 我們可以辦到因爲AD
- 等於BC
- 我們知道我們要算的
- 這個長度是根號3
- 就是這個邊的邊長是根號3
- 如果AE是根號3分之1的話
- 那ED的長度就是根號3分之
- 根號3減1
- 就是這個長度減這個長度
- 現在再來求周長就很容易了
- 我們只需把它們加起來再化簡就行了
- 所以周長是2 先讓我把周長的式子寫下來
- 三角形BED的周長等於
- 我就不想把這些字全寫下來
- 周長等於根號3分之2
- 加上根號3分之根號3減1
- 最後再加上2
- 現在還剩下工作的就是化簡這些帶根號的數字
- 你們可以拿出計算機
- 然後找出它們近似的小數值
- 讓我們看看 我們現在有根號3分之2減根號3分之1
- 得出的結果是根號3分之1
- 2和3分1的平方 不錯了應該是根號3分之2
- 減去根號3分之1是的根號3分之1
- 然後再加根號3加2
- 現在讓我們看看能不能把它有理化
- 如果同時讓分子
- 和分母乘以根號3
- 就會得到3分之根號3
- 加上根號3,
- 我可以把它重新寫成加上3分之3乘以根號3
- 是的就是讓根號3的分母分子都乘以3
- 最後在加上2 現在就是做加法的時間了
- 所以根號3加上3根號3
- 最後得到3分之4根號3加2
- 你可以把2放在最前面
- 有些人喜歡把有理數
- 寫在無理數前面
- 總之我們已經算出了
- 三角形BED的周長
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