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30-60-90 三角形邊長比例證明 (英): 證明30-60-90三角形的邊長比例
相關課程
- 這個視頻裏我要討論一種特殊三角形
- 叫做30 60 90 三角形
- 我想你們知道
- 這個名字的緣由
- 因爲三角形的三個角分別是
- 30度 60度 90度
- 接下來我們要證明的
- 會是很有用的結論
- 至少在幾何學中很有用
- 或者以後
- 在三角學中很有用
- 這個結論是關於30 60 90 三角形
- 三邊的長度比
- 如果直角三角形斜邊長是x
- 我們知道
- 斜邊是直角所對的那個邊
- 如果斜邊長是x
- 我們要證明短邊長
- 也就是30度所對的邊長是x/2
- 60度所對的邊長
- 這是60度所對的邊長
- 我們要證明這個邊的長度
- 是短邊長乘以根號3
- 所以根號3乘以x/2
- 就是它的長度
- 這就是在這個影片中我們要證明的
- 這個結論將在其他影片中得到運用
- 我們將會看到這個結論
- 非常有用
- 現在讓我們先看一個非常熟悉的三角形
- 讓我們畫一個
- 等邊三角形
- 畫三角形一直是很難的部分
- 這已經是我畫得最好的等邊三角形了
- 讓我們把這些叫做A B C
- 假設我畫了一個
- 等邊三角形
- 所以三角形ABC是等邊三角形
- 如果這是等邊三角形
- 那麽它的邊長都相等
- 假設邊長是x
- 所以這就是x
- 如果這是x
- 那麽這也是x
- 我們也知道
- 對於等邊三角形
- 所有的角都是60度
- 所以這是60度
- 這也是60度
- 這也是60度
- 現在我要做的是
- 從頂點向下畫一條高
- 向下畫一條高
- 根據定義
- 這條高和底邊在這裏相交
- 並且成90度
- 所以這就是直角
- 這就是直角
- 很容易就可以證明
- 這不僅僅是一條高
- 不僅僅是垂直於底邊
- 因爲很容易證明
- 它和底邊相交於這裏
- 如果你願意可以自己證明
- 但這是事實 很容易就可以證明
- 這兩個三角形全等
- 讓我證明給你們看
- 讓我們把這個點叫做D
- 所以這是三角形ABD和BDC
- 顯然他們共用一個邊
- 所以這個邊是被它們共用的
- 這個邊
- 然後這個角
- 和這個角是相等的
- 這個角
- 和這個角相等
- 所以如果這兩個角分別相等
- 那麽第三個角也是相等的
- 所以這裏的角
- 和那個角相等
- 所以這兩個是相等的
- 我們可以用多種證明全等的定律
- 比如
- 邊角邊定律
- 或者角邊角
- 任何一種都可以證明
- 三角形ABD和三角形CBD全等
- 這告訴我們什麽呢
- 我們可以用角邊角
- 或者邊角邊
- 任意一種都可以
- 這個結果告訴我們
- 這兩個三角形相對應的邊
- 邊長都相等
- 特別是
- 邊AD和CD相等
- 這是相對應的邊
- 所以這兩個邊相等
- 如果我們知道這兩個邊相等
- 而且它們相加等於x
- 因爲等邊三角形邊長是x
- 那麽這個邊的邊長就是x/2
- 邊長就是x/2
- 不僅如此 我們還知道
- 當我們作這條高時
- 這個角和這個角相等
- 而且加起來是60度
- 所以如果兩個相等的角加起來是60度
- 那麽這就是30度
- 這也是30度
- 所以我們已經證明了
- 30 60 90三角形的一個有趣的特徵
- 如果斜邊 請注意
- 我想我剛剛沒有指出
- 這條高將等邊三角形分爲
- 兩個30 60 90三角形
- 30 60 90三角形
- 所以我們已經證明了
- 如果90度角對邊是x
- 30度角對邊是x/2
- 這是我們已經證明過了的
- 現在我們要看看第三個邊
- 60度所對的那個邊
- 60度所對的那個邊
- 在這裏
- 讓我們把這個邊稱作
- 就用我們剛剛用的字母
- 這是BD
- 現在我們可以用勾股定理
- 在這裏
- BD的平方加上這個邊長的平方
- 也就是x/2的平方
- 等於斜邊長的平方
- 那我們就得到了BD BD^2 + (x/2)^2
- 只需要用勾股定理
- 加上(x/2)^2
- 等於x^2
- 說明一下
- 我看的是這個三角形
- 我看的是右邊這個三角形
- 而且我只用了勾股定理
- 這個邊和這個邊的平方和
- 等於斜邊的平方
- 那麽讓我們來解出BD吧
- 得到了BD^2 + (x^2)/4... (x^2/4)
- 等於x^2
- 你可以看做(4x^2)/4
- 就等於x^2
- 如果兩邊
- 都減去(1/4)x^2
- 你就得到
- BD^2 =
- 4x^2/4 - x^2/4 等於
- 3x^2/4
- 所以就是3x^2/4
- 兩邊開平方根
- 你得到BD等於
- 開根號（3乘以x）
- 3開根號是根號3
- x^2開根號是x
- 除以4的平方根2
- BD是60度角相對的邊
- 我們已經做完了 如果斜邊是x
- 30度所對的邊是
- x/2
- 60度所對的邊
- 邊長是
- 開根號（3x/2）
- 除此之外 你也可以有其他的表達方法
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