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圓形內接正三角形的面積 (英) : Problem that requires us to figure out the area of an equilateral triangle inscribed in a circle (A little trigonometry used)
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- 在这个视频中 我想使用上个视频中的结论
- 来做一些巧妙的事情
- 比如这是一个圆
- 并且我有一个内切的等边三角形在这个圆中
- 所以这个三角形的所有顶点
- 都在圆的周长上
- 我尽力尝试画一个等边三角形
- 我想这大概是我能画得最好的了
- 当我说等边的时候就表示所有的边都一样长
- 所以如果这条边长为A 那么另一条边长是A
- 剩下的一条边长也是A
- 我们假设这个的半径
- 这个圆的半径是2
- 我只是随意选择一个数字 来解决这个问题
- 假设这个圆的半径是2
- 从圆心到圆周上的任意一点
- 这个距离 就是半径 等于2
- 现在 我正要让你利用前几个视频中的一些结果
- 和一些基础的三角知识
- 如果"三角学"吓到你了
- 你只需要大概了解播放列表中前两三个
- 有关三角知识的视频就能能理解我正在做什么
- 我想做的事就是算出在圆内三角形外的
- 区域的面积
- 所以是计算出这小块区域 那小块区域
- 和这块区域合并而成的面积
- 解决这个问题的明显方法是
- 我能轻松算出圆的面积
- 圆的面积就等于∏乘以r的平方 Area of the circle that's gonna be equal to ∏r2
- 或者是∏乘以2的平方 也就是4∏ Or ∏ times 22 which is equal to 4 ∏
- 我能从圆的面积4∏中减去三角形的面积 And I could subtract from 4∏ the area of the triangle
- 因此我需要算出三角形的面积
- 那么三角形的面积是
- 三角形的面积 前几个视频中
- 我演示给你们看过海伦公式
- 如果你知道三角形的三条边长 那么你可以计算出面积
- 但我们暂时还不知道边的长度
- 一旦我们知道了 也许就能算出三角形的面积
- 让我们在不知边长的情况下使用海伦公式
- 让我们假设这个等边三角形的边长
- 边长是A
- 应用海伦公式
- 我们首先明确海伦公式变量s
- s等于A加上A再加上2分之A或者等于2分之3a
- 这个三角形的面积用A来表示
- 所以面积等于s也就是2分之3a乘以s减去a的值
- 就是2分之3a减去a
- 或者我可以写成2分之2a对么
- a就等于2分之2a你可以抵消2得到a
- 接着我要重复三次得出的结果再开平方
- 为了避免重复 每一边乘三次
- 根据海伦公式
- 我可以说2分之3a减去2分之2a结果的三次方
- 那么这个结果是什么呢
- 这个等于平方根里左边是2分之3a
- 右边等于3a减去2a也就是a
- 所以就是2分之a的三次方
- 换一种颜色
- 2乘以2的三次方分之3a乘以a的三次方
- 也就是3乘以a的四次方 2的四次方就是16
- 对不 2乘以2的三次方就是2的四次方也就是16
- 如果我们把分子和分母开根号
- 这就是在算a的四次方的开根是a的平方
- a的平方乘以 我们这里写成根号3
- 在分母的开根号 也就是4的上面做分子
- 所以如果我们知道a的值 就能通过海伦公式
- 知道这个等边三角形的面积
- 我们怎么计算出a的值
- 我们还知道等边三角形的其他什么特性
- 我们知道所有这些角都相等
- 又因为它们加起来必须是180度
- 所以它们都是60度这是60度角 这个是60度的角
- 那个也是60度的角
- 现在看看我们是否能利用上个视频的知识
- 其中我提到了圆周角和圆心角
- 的关系
- 这是一个圆周角
- 它的顶点在圆周上
- 所以它对着
- 它对着这段弧 那个对着那段弧
- 所对的同一段圆弧的圆心角
- 是这个
- 这个正是对着同一段圆弧的圆心角
- 根据我们在上个视频中看到的
- 对着同一段圆弧的圆心角是圆周角的
- 两倍
- 因此这个圆心角就是120度
- 让我在这画个箭头标明120度它是那个圆周角的两倍
- 如果我恰好平分这个角
- 我从角的中间画一条线 像这样直直地到底
- 那么这两个角分别是多少度
- 它们将都是60度我均分了这个角
- 这个是60度角 另一个也是60度
- 并且我们知道我把它分成了两份
- 这是一个等腰三角形 这是一条半径
- 半径等于2这是一条长度为2的半径
- 所以这整个三角形是对称的 如果我从中间
- 一直往下延伸 这条的长度是
- 边长的一半
- 另一条也是如此
- 让我在边上演示 如果我取
- 任意一个等腰三角形
- 它的两条腰的长度相同
- 在这个例子中两条腰是圆的半径
- 这个角等于另一个角
- 如果我再从中间这个角切开
- 我会把对边切成两条
- 这两条长度相同
- 在这种情况下 如果这条边长是a
- 每一个半条的长度就是2分之a
- 现在我们能否利用这个和一些
- 三角知识来找出a和r的关系
- 因为如果我们能用r算出a
- 那么我们就能在等式中带入a的值
- 从而得到三角形的面积 接着我们能
- 从圆的面积中减去三角形的面积 这样我们就完成了
- 我们会解决这个问题
- 让我们试试看
- 已经知道这个角是60度
- 是整个圆心角的一半
- 这个角是60度 而且2分之a
- 是这个角的对边长 已知对边长是
- 2分之a
- 我们知道斜边 对不
- 这是一个直角三角形 你从上到下
- 二等分三角形所对的边
- 得到一个直角三角形 从三角形几何关系
- 对边是2分之a
- 斜边长是r 这个正是直角三角形的斜边
- 半径是2
- 所以三角比率等于角的对边比上
- 斜边的比率
- 有人可能
- 已经厌倦我一直在做的 但是
- 一个角的正弦值等于它的对边比上
- 让我往下滑动一些 我快没有地方可以写了
- 所以这个角的正弦值
- 60度角的正弦值
- 等于斜边分之 也就是半径
- 2分之a
- 2分之半径 也就是等于2分之a除以2
- 等于4分之a
- 那么60度角的正弦值是多少
- 如果你完全不了解"正弦值
- 那么去看前几个
- 在三角学播放列表中的视频 它不是那么让人望而却步
- 60度角的正弦值
- 你可能从30 60 90度角的直角三角形中回忆起来
- 让我画一个这样的三角形
- 这就是一个30 60 90度角的三角形
- 如果这个是60度角
- 那个就是30度角 另一个是90度的
- 你可能记得这个是长度1的话
- 那么那条边长是2分之1
- 另一条长则为2分之根号3
- 所以60度角的正弦值是对边比上斜边的值
- 2分之根号3除以1
- 60度角的正弦值 如果你没有一个计算器
- 你可以就使用这个值 2分之根号3
- 因此这个就是2分之根号3
- 我们可以算出a的值 4分之a
- 等于2分之根号3 两边同时乘以4
- 你把这个4消去了 在这儿乘以4
- 它就变成了2 另一边是1
- 得到结果是2乘以根号3
- 我们快接近结果了
- 我们刚刚计算出每条边的长度
- 我们用海伦公式得出以边长表示的
- 三角形的面积
- 我们只需要带入这个值来得到实际的面积
- 所以我们三角形的面积表达式中有a的平方
- a的平方是
- 面积就是2的平方乘以3 乘以4分之根号3
- 这是a的平方乘以4分之根号3
- 也是4乘以3
- 也是4乘以3 再乘以4分之根号3 把4消去
- 最后三角形的面积就是3乘以根号3
- 这儿的面积就是3乘以根号3
- 这是整个三角形的面积
- 现在 回到问题所问的地方
- 桔色部分的面积 也就是在三角形之外
- 而在圆内的部分 圆的面积是4∏ And inside of the circle well the area of our circle is 4∏
- 我们从中减去三角形的面积
- 3倍的根号3 我们已经完成了任务
- 这就是我们的答案
- 就是桔色部分的面积
- 最后无论如何 希望你能觉得这个过程有趣