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寇茲雪花圖的面積 (第二部分) - 進階 (英): 把無窮等比級數加起來，終於找出寇茲雪花圖的面積
相關課程
- 在上一個影片中我們解決了
- Koch雪花的面積問題
- 這個有著無限周長的東西
- 在這裡可以被表述爲無窮的項的和
- 而且 在這個錄像中我們的工作是嘗試去簡化它
- 而且可以預見我們會得到一個有限的值
- 那麽讓我們盡全力地簡化
- 這裡出現的這個東西
- 我們要簡化它的最簡單的部分
- 就是從無限和得到一個有限的值
- 那麽讓我們將注意力集中在這
- 而且如果我們能夠在我打括號的這個部分得到一個值
- 我們可以把這個值放在這
- 然後簡化剩下的部分
- 那麽 我剛剛打括號的部分 我已經打括號的部分
- 可以被重寫爲爲3乘以4/9 3乘4/9
- 加上4/9的平方 4/9的平方
- 加上4/9的三次方 三次方
- 三次方 然後你可以繼續 繼續寫下去
- 加上4/9的每個次冪
- 一直到無窮
- 幸運的是 有一個解決方法
- 這個無窮的數列 它被稱作幾何級數
- 有一個方法可以算出它
- 而且存在 我們做影片 我想我已經做了很多影片了
- 在那些影片裏我們證明了普遍的東西
- 但是我這次會親自做
- 所以 我們不必求助一些神奇的公式
- 我們定義了某個和
- 我們說說這裡的這個和 我們叫它S
- S等於這裡
- 我們括號中的式子
- 等於4/9 加上4/9的平方
- 加上4/9的三次方4/9的三次方
- 一直加到無窮
- 現在我們也說 讓我們把S乘以4/9
- 那麽我來把它寫在這下面
- 如果我們把S乘以4/9
- 我在這裡找點空間
- 所以4/9 S看起來像什麽呢
- 是4/9 S
- 我只是在這裡乘以每一項
- 乘以4/9
- 我們來看第一項 我們把它乘以4/9
- 我能得到什麽
- 啊 我們能得到4/9的平方
- 4/9的平方
- 如果我用第二項和4/9相乘
- 我會得到 我將得到4/9的三次方
- 而且我們會一直到無窮
- 這很有趣 當我把S乘以4/9時
- 我得到了除了第一個4/9以外的所有項
- 現在 我們真正算出一個無窮幾何級數的和
- 的神奇之處在於
- 我們可以減掉這邊的這一項
- 我們可以從劃綠線的式子中減掉劃粉紅線的部分
- 如果我們這麽做 很明顯這些等於它
- 而且 它又等於它 所以如果我們從它中減去了這個
- 就等於從綠色的部分減去了粉紅色的部分
- 得到S減去4/9 對不起 是S減去4/9S 減去4
- 讓我用粉紅色筆來寫 這樣我們能清楚我們在做什麽
- 減去4/9S就等於 減去所有其他項 這個項
- 減去這個項會抵消
- 這個項減去這個項會抵消
- 而且會不停地抵消
- 直到無窮
- 在右邊
- 你將只剩下
- 你將只剩下
- 這一個4/9
- 只剩下了這個4/9
- 然後 這個4/9我們可以
- S可以當做9/9S
- 所以我們可以把這個寫成9/9S減去4/9S
- 等於4/9
- 而且S的係數9/9 減去4/9
- 得到5/9
- 所以等式變成了5/9S等於4/9
- 然後解這個方程得到S 這就是所謂的神奇之處
- 但是事實上它是很有邏輯的
- 在兩邊同時乘以5/9的倒數
- 就是乘以9/5所以我們可以隔離出S 乘以9/5
- 這些項抵消了然後我們得到S等於4/5
- S等於4/5
- 這真的很簡潔
- 我們剛剛向自己證明了
- 這整個無窮的式子等於4/5
- 等於4/5
- 所以我們打在這兒整個括號裏的內容
- 等於3乘以4/5
- 所以這整個括號
- 等於3乘以4/5 等於12
- 它等於12/5 這整個括號裏的內容
- 現在讓我們回到原來的表達式
- 這樣我們才不會不明白我們在做什麽
- 我們有了根號3 根號三 十六分之S平方
- 然後 我們在這裡有4
- 4加上這所有的
- 簡化爲了12/5
- 加上12 加上12/5
- 現在只加這兩項 我們可以把4寫成20/5
- 我們可以把它寫成20 我們可以把它寫成20/5
- 然後20/5加上12/5得到32/5
- 讓我把這寫在這裡
- 所以在這兒的整個式子
- 結果是32 32/5
- 而且現在這真是最後一段了 這非常令人振奮
- 我們準備去找到有著無限周長的某種東西
- 的有限的面積
- 所以它將是 讓我重新寫一下 這樣它
- 就不會變得很亂了
- 根號三 十六分之S平方 乘以32/5
- 乘以32/5
- 而且32 我們可以同時用分子和分母除以16
- 32被16整除得到2
- 16被16整除得到1
- 我們剩下了 現在我們真的需要隆重介紹
- 我們開始時用的最初的等邊三角形構造的
- 一個Koch雪花的面積
- 把它的每條邊當做邊長S 三條邊都是S
- 因爲它是一個等邊三角形
- 在這個紫紅色上 平方根會成爲2乘以根號3
- 2乘以根號3 個S的平方
- 所以不論邊長是多少
- 所有的一切 因爲我們用了兩種方法 我們用了根號三
- 我們用了S的平方 這一切 這一切除以5
- 因此 舉個例子 如果第一個等邊三角形
- 如果我們開始的第一個等邊三角形
- 邊長是1 那麽這個有著無限邊長的
- 東西的面積
- 就是 2倍根號3乘以 1/5
- 或者是五分之二倍根號三
- 無論如何 我覺得這很給力
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