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直角三角形的外心 (英): 直角三角形的外心位於斜邊的中點
相關課程
- 在這個視頻裏我們要證明一個定理
- 一個直角三角形的外心
- 是它斜邊的中點
- 首先 我們看一看
- 這個直角三角形一個直角邊的垂直平分線
- 那麽讓我們畫出BC 邊的垂直平分線
- 它看起來是這樣的
- 呃 它與BC垂直相交
- 它是垂直的 並且它平分BC
- 從B點到這個點
- 我們稱之爲M點 M爲中點的含義
- BM=MC
- 這兩段線段長度相等
- 讓我們把這條垂直平分線
- 和斜邊的交點稱爲O
- 我們即將證明O點
- 是這個直角三角形的外心 即爲外接圓圓心
- 現在 首先你可能會發現
- 這同時也是我們在很多問題中經常見到的
- 三角形OBM和三角形ABC是相似三角形
- 這個不難證明
- 他們兩個都有一個直角
- 所以如果我們證明出它們有
- 另外一組對應角相等
- 那麽我們就知道它們是相似的
- 符合"角角相似"並且他們有一個公共角
- 在這裏 角OBC是小三角形的一個角
- 角ABC實際上是和角OBC是同一個角
- 角ABC是大三角形的一個角
- 同時它們也都有一個直角
- 於是由"角角相似"得出OBM與ABC相似
- 那麽 得出這個性質這有什麽用呢
- 我們知道相似三角形的對邊成比例
- 舉個例子
- 在小三角形上有一條邊BM
- 我們用另一種顔色來標註
- 我們知道BM和BC之間的比例
- BM和BC
- 小三角形的一邊和大三角形的一邊的比例
- 等於小三角形斜邊BO
- 和大三角形斜邊BA之間的比例
- 因爲它們相似 我們知道BM和BC之間所成的比例
- BM是BC的一半 所以這裏的相似比
- 爲1/2 這是M點
- 是這條線段的中點
- 這兩個的長度一樣
- 於是這是整個BC的一半
- 所以如果 1/2=BM/BC=BO/BA
- 如果我們忽略中間部分
- 可以得出1/2=BO/BA
- 如果你交叉相乘
- 然而 也有多種方式去思考它
- 如果你選擇交叉相乘 BA=2BO
- 或者你把兩邊都除以2
- 它等同於 1/2 BA=BO
- 所以BO是BA的一半
- 這裏的AO同樣也是一半
- 這個是BA
- 減去BA的一半 所以這個也是BA的一半
- 這樣 這個線段AO
- AO和BO 相等
- 我們剛剛做的
- 首先是做了一條垂直平分線
- BC的垂直平分線
- 它與直角三角形的斜邊相交於其中點
- 我們已經
- 證明了一點
- 就是O是
- 斜邊AB的中點
- 呃 這本身很有趣
- 我們還知道如果一個點在一條線段的
- 垂直平分線上 這點到線段的兩端點距離相等
- 我們在之前的一個影片中已經證明過了
- 所以 我們知道 O到線段的兩個端點距離相等
- 於是OB=OC
- 從這裏的第一個結論我們知道
- OB也等於OA
- 於是OB=OC OB=OA
- 這意味著 OC一定等於OA
- OC=OA
- 這樣來看 在點O
- O到這個三角形所有頂點距離都相等
- 我想說 O
- O到這個三角形所有頂點等距
- 所以 這個長度 將是外接圓的半徑
- 半徑長度和 這個線段的長度相等
- 也等於這個線段的長度
- 所以我們知道
- O到三個頂點距離相等
- 即O是外接圓圓心
- 我們剛剛證明了 一個直角三角形的外心
- 是它斜邊的中點
- 或者用另一種方式表達 直角三角形的斜邊中點
- 是它的外心 因爲任何一個三角形
- 只有一個外心
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