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三角形的外心 (英): 多個證明顯示一個點在中垂線上面就一定與三角形線段兩端等距離
相關課程
- 讓我們從弦AB講起 那是點A
- 這是點B
- 然後畫這條弦的中垂線
- 所以這兩邊相垂直 並且弦被分成
- 兩部分 我們將這條線設爲L
- 這將是一條垂線 確切說是一條中垂線
- 這就是了 它將在成90度角的地方相交
- 並且它二等分弦
- 這兩段長相等
- 我們可以設那個點
- 設它爲M 設中點爲M
- 在此我想最先證明的是
- 如果我們在這條線上任取一點
- AB中垂線上的一點
- 然後從點A到這一點的距離
- 或從這一點到點A的距離
- 將等同於點B到
- 這一點的距離
- 等同於這一點到點B的距離
- 那麽讓我在中垂線上任取一點
- 設這一點爲C
- 你可以想像一下 我們畫一個三角形
- 畫一個三角形 連接CA
- 連接CB
- 因爲我們能證明CA等於CB
- 所以我們證得我們要證的內容
- C到A和C到B的距離相等
- 這裏有些有意思的東西
- 已知AM等於MB
- 我們還知道CM等於它本身
- 明顯任何弦都等於它本身
- 並且我們需要知道這是不是直角 這的確是
- 這條線是AB的中垂線
- 因此我們得到兩個直角
- 甚至你不用擔心它們是不是直角
- 如果你看到三角形AMC
- 你有這條邊全等於相應的
- 三角形BMC的那條邊
- 然後你從這兩條線中得到了一個角 這個角對應那個角
- 在這裏 角AMC 對應角BMC
- 並且它們都是90度
- 因此它們全等 然後你有邊MC
- 同時在兩個三角形上 並且全等
- 因此我們能用角邊角
- 角邊角全等證明法
- 因而我們可以寫三角形AMC 全等於
- 三角形BMC
- 用角邊角證全等法
- 如果它們全等
- 那麽它們對應邊全等
- AC對應BC 所以這兩邊相等
- 這兩邊必等長
- 原題得證
- AB中垂線上的這一點C
- 到A B 等距
- 同理 如果我把C取在這裏或這裏
- 我會得到相同的結論
- 所以在這條線上的任何一點C都是一樣的
- 所以讓我寫下它 這意味著
- AC等於BC
- 現在我們換一角度看這個問題
- 比如說我們找到到A和B距離相等的一點
- 證明它一定在中垂線上
- 所以 再做一遍 我畫出這個 這是A
- 這是B 然後我們畫出其它點 再次設爲C
- 假如C在這裏
- 比如說我在這裏畫一點C
- 這是C 我們從假設開始
- C到A和 B的距離相等
- 所以CA等於CB
- 這是我們的開始
- 這將是我們的假設
- 我們要證明的是 C在
- AB的中垂線上
- 我們在這畫過一個三角形
- 我們可以在這條邊上作一條高線
- 因而我們在這作一條線
- 如果我們這樣畫
- 讓它從這引一條高線
- 雖然我們不是從線外一點畫線
- 在這種情況下我們是提升出一條線
- 但是如果你旋轉它
- 三角形看起來就像這樣了
- 三角形看起來就像這樣了
- 就是這樣 這是B 這是A C在上面的這裏
- 你可以這樣從線外引一條高
- 因此你可以構造這條線
- 它與AB成一直角
- 設交點爲M
- 因此要證C在中垂線上
- 我們需要證明CM是中垂線上的一條線段
- 並且我們已經構造了它
- 它已經是垂直的了 我們只需
- 證明它等分AB
- 所以我們這裏有
- 兩個角 這裏是一個直角
- 從我們構造它的方法來看 它很明顯是直角
- 它在直角處 然後我們推出
- CM等於
- CM等於
- 等於它本身
- 我們可知 這是一個直角邊 我們有一條直角邊
- 一條斜邊 從斜邊 直角邊公理
- 斜邊直角邊公理就是 存在一個直角
- 有一條直角邊
- 與相應的另一直角邊全等
- 在另一三角形中 存在一斜邊全等於
- 另一斜邊
- 這意味著兩三角形全等
- 由斜直法得出三角形ACM與三角形BCM全等
- 如果它們全等 它們的相應邊
- 將全等 這意味著AM
- 必等於BM
- 因爲他們是彼此的對應邊
- 因此這條邊與那條邊全等
- 所以這條線等分AB
- 線段MC在二等分線上
- 它的確是等分線的一部分
- 我們做這些的原因是
- 我們可以從中垂線中發現一些有意思的現象
- 還有那些到某些點等長的點
- 還有由他們構成三角形
- 這是新知識 來回顧一下
- 弦中垂線上的任意一點
- 到弦端點的距離相等
- 逆定理是 如果一點到
- 弦端點的距離相等
- 它在該弦的中垂線上
- 現在我們將這些定理應用到三角形中
- 讓我任意畫一三角形
- 我盡可能畫一個大一些的
- 我們給這個三角形標一些點
- 這是點 A 點B 點C 我們稱之爲三角形ABC
- 現在 我構造弦AB的中垂線
- 它將等分弦 所以這段距離等於
- 這段距離 並且它是垂直於弦的
- 它看起來是這樣的
- 它要被細化一下 所以我們將它畫得不一樣一點
- 因爲我們剛才畫它的方法
- 使我們接近特殊情況
- 那是我們下一講的內容
- 讓我畫一個不太一樣的三角形
- 讓我畫下它
- 等下我
- 好的 這個看起來好點了
- 我們將會學我提到的特殊情況
- 這是A
- 這是B 這是C
- 現在讓我在這作一點
- AB的中點 並畫一條垂線
- 然後畫一條中垂線
- 所以中垂線看起來像那樣
- 就像那樣
- 我並不想讓它與C相交
- 因爲沒必要是那種情況
- 但這要是一個直角
- 並且這段長等於那段長
- 讓我對AC做相同的步驟
- 在這裏
- 讓我取這一中點
- 粗略地畫一下
- 好像在那裏 然後讓我畫出
- 它的中垂線 它看起來像這樣
- 它看起來像這樣
- 所以這段長等於那段長
- 並且我們發現他們相交於某點
- 我們設那點 來點樂趣 設它爲O
- 現在點O有些有意思的特性
- 因爲我們知道O在AB的中垂線上
- 可知O到B的距離
- 等於O到A的距離
- 這是我們第一部分證明的
- 因此我們知道OA等於OB
- 挺不錯的 但是我們還知道
- 因爲它是這條綠色中垂線
- 和這條黃色中垂線的交點
- 我們也知道它在AC的中垂線上
- 它到A和C的距離相等
- 所以我們知道OA等於OC
- 現在 有趣的是 OA等於OB
- 並且OA等於OC 所以OC和OB
- 也要相等 我們也會知道 OC
- 必等於OB
- OC必等於OB 如果一點等於 抱歉
- 如果一點到弦兩端點
- 的距離相等
- 那麽這一點在這條弦的中垂線上
- 這是我們的第二個證明
- 在這裏 它必須在BC的中垂線上
- 所以如果我在這畫一條中垂線
- 那麽它將在BC的垂線上
- 中垂線
- 從我們這簡單的小證明中得出的很好的一點是
- 如果我們已經證明上述理論 那麽
- 在三角形中有唯一的一點
- 到三角形三頂點的距離相等
- 並且在三邊的三條中垂線上
- 換種角度說 我們證明過
- 三邊的中垂線
- 交於唯一一點
- 這一點到三頂點的距離相等 三角形中這一點
- 有一特殊名稱 我們稱O爲三角形外心
- 因爲O到三角形頂點等距
- 所以這個距離 讓我用其它顔色標出
- 我沒用過的顔色
- 這段距離 這段距離
- 等於那段距離
- 等於那段距離
- 如果我們以O爲圓心作一圓
- 它的半徑是這條橘黃色的距離
- 它的距離是這些距離之一
- 我們得到了一個經過所有頂點的圓
- 所有三角形的頂點對應中心是O
- 所以我們的圓是這樣的
- 這是我很努力畫出的 所以我們構造的圓在這裏
- 我們可以構造出這樣一個圓
- 但是我們稱之爲外接圓
- 這段距離是外接半徑
- 再來一次 我們知道我們可以構造它的
- 因爲有一點O爲中心 並且這個圓
- 經過三角形頂點
- 我們稱之爲外接圓
- 外接 圓 我念它有困難 外接於
- 三角形 我們稱這裏的
- 圓O爲外接圓O 所以這裏的圓O
- 外接於三角形ABC
- 這意味著三頂點在圓上
- 並且這個圓上任意一點
- 到三角形外心的距離都是外接圓半徑
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