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垂心與重心共點 (英): 垂心與重心同一個點的三角形是正三角形
相關課程
- 我們要證明一個已知的這個三角形的重心和垂心
- 是否同一點
- 條件是已知的這個三角形是等邊的
- 我們來看這個三角形 我們假設
- 它的垂心和重心是共點的
- 我們先來回顧一下三角形的垂心是
- 三條高的交點
- 而重心則是三條中線的交點
- 回到題目 所以我們假設
- 這三條線
- 他們既是高也是中線
- 自然地 這個交點
- 就既是垂心又是重心
- 如果我們假設這些線段是高
- 那麽他們必然垂直於對邊
- 所以那是個直角 那些都是直角
- 這些都是直角
- 這些也都是直角
- 並且 如果交點是重心的話
- 這些線段都是平分對邊的
- 所以這條線段長度等於
- 讓我換一種顔色的筆
- 這條線段長度等於那條線段
- 同時這個長度等於那個長度
- 大家可能會發現
- 這些線段既是垂線
- 又是對邊中線
- 那麽這個交點並不僅僅是垂心和重心
- 它還是這個三角形的外心
- 這個和題目關係不大
- 現在我們把所有假設標記一下
- 給定這個點是垂心和中心
- 盡管我們還知道這個點
- 還是重心
- 但是我們要證明這個點如果存在 三角形必定等邊
- 第一步
- 讓我標一些字母
- 這樣後面講起來方便
- 我們給這些點標上ABCDE和F
- 我們標上重心G
- 我們首先看三角形AFG
- 和三角形EFG
- 讓我們來比較三角形AFG
- 和三角形EFG
- 顯然
- 邊EF等於邊AF
- 同時角EFG等於角AFG
- 他們都是直角
- 同時兩個三角形擁有重合邊FG
- 他們的這條邊是重合的
- 所以有一組邊相等
- 還有一組夾角相等
- 所以我們有兩組邊相等
- 以及這兩組邊的夾角相等
- 根據三角形全等的邊角邊定理
- 這兩個三角形全等
- 現在我們可以用同樣的定理
- 去證明
- 這些同樣有兩組邊相等
- 以及兩邊夾角相等的三角形
- 是全等三角形
- 用的是同樣的邊角邊定理
- 同理可得三角形EDG
- 全等於三角形CDG
- 相等的邊和角
- 同時還有一組等邊
- 所以我們很容易運用相同的證明方法
- 證明這邊這個三角形
- 三角形CBG全等於三角形ABG
- 這聽起來很有趣
- 但是我們知道如果兩個三角形全等
- 那麽他們所有對應的邊和角
- 都是相等的
- 舉個例子 如果我們知道
- 這個藍色的角的角度
- 那麽全等三角形上對應的角
- 角度就是一樣的
- 我來給他也標上藍色
- 給這個角標上紅色
- 那麽對應的在三角形AFG上
- 有一個角和紅色的角度數相等
- 我也把它標上紅色
- 同時根據對頂角的性質
- 角AFG無論是多少度
- 始終等於角DGC
- 因爲他們是對頂角
- 但是我們知道角AFG的度數
- 三角形CDG全等於三角形EDG
- 於是對應角相等
- 所以這個用紅色標注的角度數
- 一定等於這個角的度數
- 我們又可以利用對頂角的性質
- 這個角是紅色所標記的度數 那麽這個角
- 也是同樣的度數
- 同樣地 這個角的度數
- 也等於那個角
- 所以稍稍運用一下全等三角形
- 對應角相等
- 以及對頂角相等的性質我們可以看到這些內角
- 度數都是相等的
- 他們都是相等的所以我用紅色的弧線
- 把他們標出來
- 現在把所有三角形一分爲二
- 他們都有一個直角和一個紅色弧線的角
- 所以剩下的一個角
- 必然等於180度減去90度減去紅色弧線代表的角度
- 也就是90度減去紅色的角的度數
- 那就是藍色的角的度數
- 這個藍色的角就是90度減去紅色的角
- 藍色的角等於90度減去紅色的角
- 藍色的角顯然是第三個角
- 所以再一次這個藍色的角等於
- 90度減去紅色的角
- 或者180度減去紅色的角減去90度
- 我們得到了藍色的角的度數
- 其實我們在做的事情是
- 如果你知道一個三角形的兩個角
- 並且它全等於另一個三角形
- 那麽另外那個三角形的角度數我們也就知道了
- 我們已經知道所有這六個三角形
- 有兩個相同的角
- 一個直角以及一個紅色標記的角
- 所以他們的第三個角一定也是一樣的
- 具體來講
- 就是這個藍色標記的角
- 現在我們來看
- 角EAC
- 角EAC由兩個藍色的角組成
- 同樣的角ACE
- 由兩個藍色的角組成
- 角CEA也是如此
- 兩個藍色標記的角
- 所以這個三角形的三個角
- 是相等的
- 所以這是個等邊三角形
- 每個內角是60度 這我們已經證明過
- 如果三角形三個內角相等
- 那麽三邊必然相等
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