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三角形全等例子 2 (英): 證明線段等長
相關課程
- 我們在這個位置提供圖解
- 我們已經知道線段AB的長度等於線段AC的長度
- 所以AB 也就是這裏完整的一個邊
- 這個已經給出的邊的長度
- 與處在這一位置的邊長度完全相等
- 所以這就是我們另一側已經畫好的那個邊
- 然後我們也知道角ABF與角ACE相等
- 或者你可以發現因爲它們度數是相等的
- 所以這也暗示著它們的尺寸完全相同
- 因爲角ABF與角ACE相等 所以我們這邊作出的角
- 是與另一側完全相同的
- 或者也可以說它們有相同的尺寸
- 現在 我要在這段教學影片中證明的第一件事情
- 是BF是否與CE等長
- 這兩條線段是否長度相等呢
- 現在我們就來試著證明
- 我們已經了解了一些有關雙列證明法的知識
- 而且我能熟練的運用雙列證明法
- 所以現在我用這個方法來證明一次
- 以備你們以後用到雙列證明法
- 在課堂上你們會看到怎樣符合格式的書寫
- 現在我們開始列舉條件
- 然後我會在這裏註明支持這些條件的理由
- 現在我就開始把雙欄證明法的格式重新書寫一次
- 我們知道AB等於AC 這是第一個條件 是已經給出的
- 第二個條件是角ABF等於角ACE
- 同樣 這個條件也是直接給出的
- 另一件有趣的事是在每個三角形中
- 都有一個角和一條邊
- 並且你們可以同時看到這兩個三角形
- 當我談起兩個三角形的時候
- 指的是三角形ABF和三角形ACE
- 它們都有共同的頂點A
- 所以 當我們把角A命名爲角BAF時
- 我們可以知道它與角BAF相等
- 或者也可以說與角CAE相等
- 這麽說會讓大家更加明確
- 我們處理的問題針對的是兩個不同的三角形
- 但是它的確是完全相同的角
- 這個角與自身是等角是我們的第三個條件
- 並且我們可以發現這是顯而易見的
- 一些人把這個性質稱作反射性
- 很明顯一個角與它自身是等角
- 所以我們很容易發現
- 或者我們可以把這個性質稱作反射性
- 一個角的角度在數值上與它自身完全相等
- 即便我們把它們標記爲不同的角
- 它們在數值上也是相等的
- 現在 我們要做一些有趣的事情
- 我們已經有了相等的兩個角和一條邊
- 所以 我們通過角邊角的方式來完成這個三角形
- 我們有三角形BAF 所以我們的第四個條件是
- 這裏已經沒有空餘位置了 所以我在下方這個位置繼續寫
- 這個條件是三角形BAF
- 這裏我用更加明顯的藍色標記來突出它
- BAF指的是畫在這個位置的整個三角形
- 所以對我們來說最大的麻煩有一半都來自於
- 看清右側的三角形
- 我們先從這個白色角開始 然後再繼續看我們已知的邊
- 接下來分析這個位置的橙色角
- BBA 不好意思 我們從這個角開始分析
- 然後我們處理E邊的橙色對角
- 我們已經知道E邊與另一側三角形的一邊相等
- 然後我們開始分析頂點沒有被標記的角
- 所以對於三角形BAF來說
- 我們現在知道他將與另一側的三角形全等
- 我們已經從白色的角開始
- 再到橙色角 最後到未標記的角
- 它們與三角形CAF中的角完全相同
- 這是一種很繁雜的作圖方法
- 但是這種方法是大家都能理解的
- 用這種方法作出的兩個三角形將會完全相等
- 也就是說 CA 不好意思
- 我應該說我們作出的三角形與CAE全等
- 無論是白色角 橙色角 還是未標記角
- 都與另一側的三角形相同
- 這兩個三角形是直接從角邊角規則入手得到的
- 我們也把它簡稱爲ASA規則
- 規則對兩個角以及它們之間所夾的一個邊均提出了要求
- 因此可知它是根據條件1 條件2和條件3得出的
- 從它們彼此相等 我們可以得出對應邊也一定相等的結論
- 所以我們得出了條件5
- 我的書寫應該再整齊一些
- 條件5陳述的內容是線段BF等於線段CE
- 沒錯 線段BF等於線段CE
- 這是直接從條件4中得出的
- 或者我們可以說 如果存在兩條對應邊
- 所有邊均相等 那麽對應邊也相等
- 現在 我們來完成另一項艱巨的任務
- 我們來看看是否能夠證明ED等於EF
- 我們就依照這個方法繼續進行下去 看看能否得出
- ED與EF是否相等的答案
- 我這裏之所以用問號
- 是因爲我們並不知道能否證明這個結論
- 現在 我就開始證明EF這個短線段等於DF
- 對不起不是EF等於DF 我們是要證明ED等於DF
- 我們就試試看能不能證明這個結論
- 首先 有趣的是
- 它似乎並不那樣明顯
- 對我們來說 確定某種相等關係並不容易
- 但我們現在已經有了一些基本條件
- 我們知道BAF與CAE相等
- 所以我們也知道這條邊與它的對應邊相等
- 我來用沒有用過的顔色進行標記
- 讓我找一下 我已經用過許多顔色
- 所以可用的顔色有點少
- 現在 從這兩全等的三角形中我們可以看出AE邊
- 也就是CAE的一條邊
- 與AF長度相等
- 相等的原因是
- 它們是全等三角形中的對應邊
- 其中 AF是三角形BAF中白色角的對邊
- AE是三角形CAE中白色角的對邊
- 我們已經知道 這兩個三角形相等
- 所以我們可以得到AE等於AF的結論
- 同樣 這個結論也從條件4中得到
- 我們也可以說對應邊是相等的
- 和上面的結論是相同的道理
- 現在 有趣的是
- 它甚至不是我們上面看到的三角形
- 但是這兩個圖形形狀相等的結論
- 可以幫助我們解決當前的問題
- 因爲我們知道BA或AB與AC相等
- 所以我們也可以對EB得出結論
- 我們在這裏繼續寫
- 把這裏的空間都利用上 讓它更擁擠些
- 條件7將會給我們一些空間
- 我們知道EB等於CF
- 我來把這個結論記下來 BE等於CF
- 爲什麽我們會得出這個結論 我把原因也寫在這裏
- 我來把我已經寫好的字擦掉一些
- 這一欄的內容不知不覺已經開始向左側欄蔓延了
- 我們究竟怎樣知道BE等於CF呢
- 我們知道BE的長度等於BA長度減去AE長度
- 或者我也可以說AB
- 解釋一下 我之所以在這裏說成AB
- 是爲了說明AB減去AE
- 和我們剛才看到並解決的問題是同一類型
- 同樣 我們用AC減去AF 由於AB等於AC
- AE等於AF
- 而AC減去AF等於CF
- 同時又與另一側的CF相等
- 我們知道這個結論的原因 並且我們也知道這是基於條件1
- 條件5和條件6得出的結論
- 實際上我們並不需要條件5
- 我們只需要條件1和條件6
- 所以我們的結論是由條件1和條件6得出的
- 現在 我們可以看到左側邊長與右側相等
- 因此可以知道這個小線段的長度與另外一條線段完全相同
- 所以如果你用一個大的部分減去一個小的部分
- 就會發現兩邊長度是相等的
- 這就是我們計算的全過程
- 因此 這條黃色線段與現在這兒的黃色線段長度相同
- 與此同時 另一個我們從對頂角相等
- 便可以直接得出的結論是 對頂角EDB
- 與對頂角FDC相等
- 讓我們把這條結論也記錄下來
- 所以條件8內容是角EDB與角FDC相等
- 這是直接由對頂角相等
- 或對頂角度數相等的結論得出的
- 現在 我們又突然發現了一些有趣的事情
- 我們得到了相等的橙色角白色角以及它們所夾的邊
- 所以我們知道這兩個小三角形也是全等的
- 現在 我要繼續運用我的圖解進行解釋
- 通過三角形BED 我們可以得到條件9
- 我們知道三角形BED也存在著相等關係
- 三角形BED與另一三角形相等
- 現在 我們同樣想要運用相同的白色角 黃色邊
- 以及橙色角
- 白色角 白色角 我們一定這裏要仔細一些
- 可以看到B是白色角 E是未標記角
- D是已標記的橙色角
- C是未標記角 所以 現在我們開始分析
- 三角形CFD
- 還是同樣 我們可以直接得到
- 橙色角 白色角以及它們所夾的邊
- 根據兩角及橙色邊 不好意思
- 根據橙色角和白色角所夾的邊
- 我們可以直接運用角角邊規則判定三角形全等
- 又由於我們已經證明了這個三角形全等於
- 另外的三角形 所以我們知道它們的對應邊也相等
- 接下來 我們要做最後的工作
- 我們知道既然兩個三角形全等
- 我們也知道ED等於DF
- 因爲它們是對應邊
- 我也就可以在這裏寫ED等於DF
- 同樣 原因是由於
- 對應邊相等
- 所以我們可以得知條件9是這兩條邊相等
- 並且是對應邊 至此我們已經完成了所有的任務
- 我們可以看到 這真是一個很複雜的問題
- 但是我們一次又一次 一步一步探索
- 就是爲了深入探索每個三角形 最終我們做到了
- 雖然 我們學習的難點並不是學會使用哪個基本條件
- 或是掌握一些基本的應用
- 但是如果我們仔細研究那些三角形
- 就會發現其中蘊含著許多資訊
- 你會發現你可以通過用AE減去AB的方式求出BE
- 你會看到有兩個三角形交疊而成的星形
- 或軍章 或是你想要把它想像成的其他任何東西
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