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相關課程
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- 让我们来讨论一下全等三角形
- 所谓的全等
- 是指形状上的完全相同
- 在代数上
- 所谓的相等是指它们数量相同
- 不过当我们讨论物体的几何形状时
- 全等指的是形状相同
- 它们的尺寸和形状是一样的
- 这叫做全等
- 来看一个简单的例子
- 这里有一个三角形
- 在这里有个三角形
- 你可以移动它 旋转它或者翻转它
- 只要你没有改变它的边长
- 也不改变三个角的角度
- 这个三角形和之前的完全相同
- 你可以翻转它 移动它也可以旋转它
- 我把它写下来 像这样移动
- 移动翻转 然后旋转
- 你可以进行以上的步骤来得到这些三角形
- 它们都是全等的
- 想要证明全等三角形的话
- 把这个三角形记为ABC
- 这点是D 这个是XYZ
- X Y和Z
- 如果我们说
- 这两个三角形是全等的
- 三角形ABC全等于
- 全等号看起来像是
- 一个上面有曲线的等号
- 写成是这样
- 也可以这样写
- 如果说三角形ABC全等于三角形XYZ
- 那么两个三角形相对应的边长相同
- 相对应角的大小也相等
- 如果这个假设成立
- 那么 AB=XY
- 线段AB的长度等于线段XY的长度
- 以此类推
- 假设这是对应边
- 可以看出 实际上我们已经定义了这些三角形
- 像这样 A对应X
- B对应Y C对应Z
- 因此AB与XY的长度相等
- 没有其他颜色的时候
- 可以这样标记
- 这两条线段的长度相同
- 你可以这样写
- 也许你不常看到这样的表达方式
- 也可以这样说
- 线段AB与XY全等
- 线段的全等意味着
- 它们的长度相等
- 所以 这两种表达其实是一样的
- 如果一条线段与另一条全等
- 就是说
- 一条线段的长度等于另一条的长度
- 接下来 对于所有的对应边
- 这两者是全等的
- 比如 线段BC的长度
- 等于线段YZ的长度
- 假设这些是对应边
- 我们可以用两条横线
- 来表示他们的长度相等
- 同样地 第三条边
- 与其对应边的长度相同
- 换言之 两条线段全等
- 因此线段AC的长度
- 与线段XZ的长度相等
- 我们不仅知道
- 如果两个三角形全等
- 那么对应边的长度相等
- 其实对应角的角度
- 大小也是相同的
- 所以我们还知道
- 这个角的大小等于其对应角的大小
- 这个角的对应角
- 在橙色和蓝色的边之间
- 应该说是橙色和紫色的边之间
- 在这两条边之间
- 所以两个三角形全等还意味着
- 角BAC的大小等于角YXZ的大小
- 我把代表角的符号写出来 像这样
- 角YXZ的度数
- YXZ
- 也可以像这样写 角BAC和角YXZ全等
- 与线段的全等类似
- 一条线段与另一条全等
- 代表着它们的长度相等
- 一个角与另一个角全等
- 指的是它们的度数一样
- 这两个对应角的度数是相等的
- 它们是全等的
- 我们同样知道这两个对应角
- 我用双弧线来表示
- 它们两个的角度相等
- 所以我们知道ABC的大小
- 与角XYZ相等
- 最终我们发现
- 如果这两项全等
- 那么这个角的度数
- 和它对应角的度数是相等的
- 所以角ACB的大小
- 等于角XZY
- 现在要考虑的是
- 如何证明三角形全等
- 证明两个三角形全等
- 是以上诸多假设的前提
- 现在我们将要试图去证明它
- 为了介绍这堂几何课 我们提出了一些假设
- 这是一条公理 或公设 或你假设出来的
- 公理是一个想象中的词
- 公设也是这样的
- 这代表着我们假设的内容是真实的
- 对于公理 有几种不同的定义
- 有人说公理是显而易见的
- 或者说这是众所周知绝对真实的
- 于是我们可以直接运用它
- 公理没办法证明
- 公设一般都是一样的
- 我们假设它是真的 看结果是什么
- 我们能够从中证明什么
- 但是在今天这节几何课上
- 在大多数数学情况下
- 这两个词代表着同样的含义
- 一个公理或公设
- 是已经存在的
- 是我们假设出来的 但是没必要去证明
- 我们从这些假设出发
- 然后从中得出结论
- 其中之一
- 将要在几何中呈现
- 如果所有的对应边都全等
- 即对应边的长度相等
- 那么这两个三角形全等
- 我们称之为边边边公理或边边边公设
- 我们可以直接把它拿来用 不需要证明
- 从字面上理解 边边边
- 如果两个三角形
- 另一个三角形在这
- 若它们的对应边长度相等
- 比如这条边
- 和这条边相等
- 我们把这当作是假设
- 那么我们可以从中推出
- 这个三角形
- 与另一个全等
- 我不标记了
- 这对我来说增加了称呼它们的难度
- 不过这两个是全等三角形
- 这是一个强有力的论证
- 在对应边相等的情况下
- 两个三角形是全等三角形
- 由此我们可以做出其他假设
- 两个三角形全等的同时
- 对应的角大小的也全等
- 即它们的大小相等
- 那么这个角
- 和这个角的大小是相等的
- 一个合理的公理
- 或者一个合理的假设 或者一个合理的公设
- 是从这里开始的
- 我们从一个三角形着手
- 这个三角形
- 它有这边和这边
- 在这有另一边
- 那么我能否
- 建立一个
- 三边长和原来三角形相等的三角形
- 使得它无论是移动 翻转 或旋转
- 都不会与原三角形相同
- 我们假设这个三角形和原来的三角形
- 有着同样的边长
- 我把它画出来
- 长度大致相同
- 它的长度大概像这样
- 所以这一边的长度是这样的
- 把它放到这
- 是它看起来更加 有趣
- 那么它将有一条像这样的边
- 我画出它大致的长度
- 不过我试图将它摆在一个不同的角度
- 现在来看它是不是像这样
- 把它放在这
- 这条边在这里
- 很明显这不是一个三角形
- 为了使它构成一个三角形 我要让这两个点重合
- 只有两种方法
- 旋转这两条线
- 使它们的端点相交
- 会得到这样的一个三角形
- 这只是翻转了原三角形 对吧
- 我是 仅仅是一个翻转
- 可以把它转回一点点
- 品红色的线和黄色的线在这边
- 把它垂直翻转
- 就变得和原三角形相同了
- 使两点连接的另一种方法是
- 绕着这点旋转这条线
- 那么黄颜色的边将在这里
- 品红色的边在这
- 这不是品红色的边
- 品红色的边在这里
- 如果我们这样做了 只需要旋转一下这个三角形
- 就和原来的三角形一模一样了
- 这不是证据 事实上我们已经开始假设
- 这是一个公理了
- 不过希望你们能够发现这个合理的开端
- 如果两个不同的三角形
- 它们的对应边相等
- 那么我们知道 它们是全等的
- 假设这是一个我们将建立的公理
- 这两个三角形全等
- 它们的对应角
- 也是相等的