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歐拉線證明 (英): 證明外心、重心與垂心的神秘結果
相關課程
- 我在這個影片中要講的內容是關於三角形的
- 我們來看這個較大的三角形ABC
- 我要證明三角形的外心
- 回顧一下 外心是三邊
- 垂直平分線的交點
- 是這個三角形的外心和重心
- 重心是三條中性線的交點
- 以及垂心 三條高的交點
- 這三個點是共線的 或者說OI是一條線段
- 或者說OG和GI是兩條線段
- 這兩條線段共線 都是歐拉線的一部分
- 爲了證明 我畫了一個中間點三角形
- 三角形FED 說三角形DEF更順一些
- 這是三角形ABC的中間點三角形
- 我們已經知道了很多關於
- 中間點三角形的知識
- 這些我們都在之前的影片裏面證明過
- 其中的一點是 三角形DEF
- 相似於大三角形ABC
- 並且 這個三角形
- 大三角形和這個三角形的相似比
- 是2比1
- 這對後面的證明很重要
- 如果兩個三角形相似且相似比已知
- 那意味著兩個三角形對應部分的長度
- 其比例也是等於相似比的 這裡是2比1
- 除了剛才那個性質
- 中間點三角形和大三角形還有一些關係
- 和大三角形有些特殊共點
- 中間點三角形的垂心
- 就是大三角形的外心
- 從圖上看就是點O
- 我們已經提到它是大三角形的外心
- 它同時也是中間點三角形的垂心
- 我們把它寫在這裡
- 所以注意點O在這條垂直平分線上
- 我應該要做很多很多這種深灰色標記
- 但是我不想讓這張圖看上去太雜亂
- 但是你們要知道這是大三角形的外心
- 現在爲了要證明OGI三點共線
- 或者共線段
- 我將要證明
- 我要證明三角形FOG
- 我要證明三角形FOG
- 相似於三角形CIG
- 對 三角形CIG
- 因爲如果我可以證得 那麽它們的對應角
- 都是相等的
- 我們可以說因爲這些角要和
- 那些角相等
- 所以OI必須是一條連貫的線段
- 我們看到如果這兩條線是平行的
- 或者這兩個三角形是相似的
- 這邊這個三角形
- 和那一個
- 如果它們真的是相似的 那麽這個角
- 和那個角是相等的
- 這意味著
- 這兩個角是對尖角
- 所以這必然是一條直線
- 現在讓我們開始正式的證明
- 或許我沒有必要在這裡強調
- 我已經提示過的一件事
- 這條線 我們叫他XC
- 是垂直於AB的
- 這是一條高 並且我們還知道FY
- 垂直於AB 是一條垂直平分線
- 所以它們和水平線的夾角是相同的
- 我們可以把AB看成一條水平線
- 所以它們一定是平行的 所以FY
- 平行於XC
- 線段FY平行於XC
- 線段FY平行於線段XC
- 現在讓我們標記一下 這根和那根是平行的
- 這很有用 因爲我們知道當一條直線
- 與兩條平行線相交 所形成的內錯角
- 是相等的
- 我們知道FC是
- 大三角形ABC的一條中性線
- 所以有一條線和兩條平行線相交
- 內錯角相等
- 所以這個角等於那個角
- 也就是說 角OFG等於
- 角ICG
- 我們還知道一件事
- 這是中性線的一個性質
- 中性線分開了或者說重心
- 將每一條中性線分成長度比爲2比1的兩段
- 另一種說法就是重心
- 在中性線上三分之二處
- 我們在之前的影片裏證明過這個
- 現在我們知道CG的長度是GF的兩倍
- 我想大家應該能看出來接下來做什麽
- 我們已經得到一組等角 並且已證得這條邊
- 和這條邊的比例是2比1 根據重心和
- 中性線的性質
- 現在只要能證明邊CI和FO是2比1的關係
- 那樣我們就有兩組對應邊成2比1的比例
- 以及它們的夾角相等
- 根據邊角邊判定準則 這兩個三角形
- 是相似的 所以讓我們來想辦法
- CI是大三角形中
- 點C和垂心I之間的距離
- 那麽FO是什麽呢
- F點是點C在中間點三角形上的對應點
- 我們需要確保找對了點F
- 對應著點C
- 所以FO是中間點三角形上的點F
- 到其垂心的距離
- 所以這是點C
- 和大三角形垂心的距離
- 這是中間點三角形上
- 的對應點
- 到其垂心的距離
- 所以這和大三角形上的那段距離
- 是對應的
- 我們已經知道大小三角形的相似比是2比1
- 所以兩點之間對應距離的比
- 應該和相似比是一致的
- 所以由於相似性
- CI就是FO的兩倍
- 我想要強調這一點 C是F的對應點
- 當我們看這兩個相似三角形時
- I是大三角形的垂心
- O是小三角形的垂心
- 我們選取的是
- 大三角形垂心
- 在小三角形上的對應點
- 三角形的相似比是2比1
- 所以這段長度和那段的比也是2比1
- 所以我們已經證明
- 這組邊的比是2比1
- 我們也已經證得這組邊的比也是2比1
- 我們也已經得到兩組邊的夾角
- 是相等的
- 所以我們根據邊角邊相似判定規則
- 讓我說慢一點 根據邊角邊相似判定規則
- 注意不是全等 是相似 我們已經證明三角形FOG
- 相似於三角形CIG
- 然後我們知道對應角是相等的
- 於是角CIG對應著角FOG
- 這兩個角相等 同時角CGI
- 讓我換一種顏色
- 角CGI對應角OGF
- 所以它們也是相等的
- 所以現在換個方式看這些角
- 這兩個角相等所以現在可以認爲OI
- 是這兩條平行線的一條橫貫線
- 所以它們是共線的
- 或者看這兩個角
- 這兩個角是相等的
- 所以它們是對尖角
- 所以這一定是同一條線
- 這條中性線進入的角度
- 和離開的角度是一樣的
- 所以這些一定是共線的
- 這又是一個相當簡單的證明
- 卻證明了一個很深刻的理論 任何三角形的垂心
- 重心以及一條中性線
- 都落在這條神奇的歐拉線上
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