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用相似與全等算出面積 (英): 算出三角形面積的例題
相關課程
- 現在我們討論的這道題中三角形ACE是等腰三角形
- 這就是那個大三角形
- 等腰意味著三角形有兩條相等的邊而且我們也知道
- 兩個底角的度數也是一樣的
- 也就是這兩個角必須是一樣大
- 右邊的這條邊
- 必須和這裡的這條邊長度相當
- 我們可以說AC與CE相等
- 這是我們從第一個條件得到的結論
- 接著題目給我們另外一些線索
- 它說CG長度爲24 這就是CG邊
- 它的長度是24
- 題目還說BH和DF邊相等
- 所以這兩個三角形是全等的
- 題目說GF長度爲12
- 這就是GF
- 並且它的長度就是這裡的12
- 最後一個條件是FE長度爲6
- 題目需要我們求CBHFD的面積
- 也就是說題目要我們求這一塊
- 的面積
- 這一塊和那一塊就是CBHFD
- 看看我們應該怎樣搞定
- 我們首先可以求出大三角的面積
- 然後我們把這一小塊的面積減掉
- 我們就知道中間這塊的面積了
- 就是這片陰影的面積
- 但是我們還沒有足夠的信息
- 我們不知道這個三角形的高
- 我們也不知道底長
- 我們知道底乘高除以二就是面積
- 所以我們需要減掉這部分面積
- 可惜我們的信息還不夠
- 我們不知道這個高 一旦我們知道
- 我們就可以解決問題了 但是我們還需要知道
- 這個邊的長度是多少
- 我們慢慢來
- 我們需要做的第一件事或許你會猜
- 是我們已經談論很多次的相似性
- 我們來找些相似性
- 這裡有一堆相似三角形
- 比如三角形CGE和DFE共享一個角
- 這個橙色的角
- 同時它們也共享右邊這個角
- 所以這兩個三角形相似
- 我們可以推斷一定還有還有第三個角
- 一樣 因爲這是兩條平行線
- 我們得出結論三角形CGE和DFE相似
- 這是根據角角定理得出的
- 我們講過同位角的概念
- 這個角屬於兩個三角形
- 所以它是同位角
- 既然我們知道他們是相似的
- 我們就可以建立邊與邊的比例
- 我們已經有一些邊的數據
- 就可以計算出邊DF
- 和右邊這條對應邊的比例
- 也就是DF和CG的比率
- CG的長度是24 而這個比率和長度爲6的FE與
- 長度爲12加6等於18的邊GE的比例相等
- 6比18就是1比3
- 所以DF的三倍等於24
- 我剛剛用了交叉相乘或者兩邊都乘以24
- 乘以三就可以得到了
- 實際上你可以兩邊同乘24
- 然後用24乘以三分之一
- 也就是除以三得到DF的長爲8
- 現在我們知道DF長爲8
- 這很有用
- 因爲我們知道右邊那條邊也是8
- 現在該幹啥呢
- 我們可以建立
- 另一對相似關係
- 我們已經知道這個角
- 和那個角相等
- 我們也知道這個角是90度
- 這是題目告訴我們的
- 這樣我們就得到了兩個相似三角形
- 我們不用證明有相等邊
- 就能證明這是兩個全等三角形
- 也就是那兩個
- 我們知道兩個角並且直接用這個條件
- 因爲需要證全等
- 如果一個角和另一個角相等
- 另一個角和第三個角相等
- 並且兩個全等三角形中的一邊
- 和對應邊相等
- 我們用粉紅色這裡標記這個三角形
- 三角形AHB和那個就全等了
- 你還需要知道對應的頂點
- 可以讀出三角形EFD並且我們知道
- 全等的角角邊條件
- 如果知道兩個三角形全等就好辦多了
- 這邊是8 那條邊也就是8
- 這樣建立了全等後就意味著
- 如果這條邊長度爲6
- 那對應的那條邊
- 的長度也就是6
- 我們可以在這裡標記長度爲6
- 現在可以想象所有我們需要
- 證明的東西
- 我們要求面積
- 不要以爲這也許跟剛剛一樣
- 我們來證明看看
- 我們怎麽判斷我們已經差不多做出來了
- 但是HG的長度還沒求出來
- 我們再用一次相似性
- 可以看出
- 三角形ABG和ACG相似
- 它們都有這個角和右邊那個角
- ABH右邊那個角在那兒
- ACG的在那兒
- 現在有一對
- 對應角相等
- 然後繼續處理相似性
- 三角形ABH也就是AHB
- 不過我已經那麽寫了
- AHB和AGC相似
- 找頂點的時候要按照準確的順序
- A是橙色的角 G是右邊的角 C是沒有標記的角
- 這是相似三角形AGC
- 這個三角形的作用就是我們可以用比例求出
- HG的長
- 用8除以24
- BH在大三角形對應的邊上面
- 所以8除以24等於6除以不是HG
- 而是AG 可以看出來吧
- 三分之一等於6除以AG
- 或者可以用交叉相乘發的到AG等於18
- 所以整個右邊的長就是18
- HG的長是12
- 這個就是當初嘗試猜測的
- 的答案
- 現在我們已經證明這個底長
- 就是18
- 再加上另一個18就得到36
- 整個底長就是36
- 便可以求出這個更大的
- 等腰三角形的面積
- ACE的面積就等於底乘高除以二
- 就是36乘以24
- 這裡也一樣用36的一半是18
- 我就寫在上面這裡 18乘以24
- 8乘以4就是32 1乘4得4 加上3等於7
- 在這兒加個0
- 因爲我們算的是20而不是2
- 2乘以8得16 2乘以1得2 加上1就是3
- 這裡是2 7加上6得13 1加3得4
- ACE的面積就是432 但我們還沒完全搞定
- 我們要求的面積
- 是整個三角形減去這一塊面積
- 再減去右邊那裏的面積
- 每一塊的面積
- 又是多少呢
- 這裡是8除以2乘以6 8的一半是
- 4 然後乘以6
- 這裡就是24
- 那邊一塊的面積也是24
- 所以就是432減去兩個24 就是48
- 我們也可以換個算法
- 先減去32得到400
- 再減去剩下的16
- 用400減去10得到390
- 最後得到384不管單位是啥
- 如果單位是米的話面積就是平方米
- 如果是厘米的話最後就是平方厘米
- 我做的沒錯吧
- 來檢驗下我加上8得到40
- 24加上8得到432
- 恩 搞定
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