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三角形的內心與內接圓 (英): 利用角平分線來找到三角形的內心以及內接圓
相關課程
- 有一個三角形ABC
- 上次我們開始探索了
- 角平分線上點的一些性質
- 現在我要做的
- 是要看一下
- 當我們把這些思想用到
- 三角形或三角形中的角上時會怎樣
- 讓我們把這個角平分 角BAC
- 畫一條角平方分線
- 角平分線看起來像這樣
- 我要保證平分這個角 很接近
- 看起來很接近
- 這就是角平分線
- 讓我們把這個點叫做
- 嗯
- 把這個點叫做D
- 讓我再畫一個角平分線
- 平分角ABC
- 讓我畫出這個
- 它看起來像這樣
- 把這個點叫做E
- AD平分角BAC
- BE平分角ABC
- 這條綠線AD
- 平分這個角
- 這告訴我們這個角
- 一定和這個角相等
- 它們的角度一定相同
- 這條平分角ABC
- 告訴我們ABE的角度
- 一定等於EBC的角度
- EBC
- 我們清楚地看到它們相交在
- 三角形內部的一個點
- 把它叫做
- 就把它叫做I
- 我跳過了幾個字母
- 但它是一個很有用的字母
- 根據一會兒我們叫它的名字
- 我們知道I一些有趣的性質
- I在這兩條角平分線上
- 我們在之前的錄像中看到過
- 角平分上的點
- 到角的兩邊距離相等
- 例如 I在AD上
- 所以它到角BAC的兩邊距離相等
- 這是一邊
- 這是一邊
- 這是另一邊
- 因爲I在AD上
- 我們知道這兩個距離相等
- 這是I和邊的最短距離
- 我們在之前的影片中已經講過
- 當我們談到點與線之間的距離時
- 我們指的是最短距離
- 是你畫直角符號時的距離
- 所以我在這兒畫一個直角符號
- 讓我們做個標記
- 這個是點F
- 這個是點G
- 因爲I在AD上 在這條角分線上
- 我們知道IF
- 和IG相等
- 足夠均勻
- I也在這條角分線上
- 它也在BE上
- 它一定是等距的
- I到AB和BC等距
- I到AB的距離
- 我們已經說過是這兒 是IG
- 我們也知道
- 那個距離一定和I到BC的距離相等
- 如果我再在這兒畫一個直角
- 把這個點叫做
- 還沒用過H
- 這個距離一定等於這個距離
- 因爲I在這條角分線上
- 所以IG一定等於IH
- IG一定等於IH
- IF也等於IG 所以我們也可以說
- 如果IF等於IG等於IH
- IF也等於IH
- 很簡單
- 如果這個等於那個 那個等於那個
- 那麽這兩個一定相等
- 如果I到一個角的兩邊距離相等
- 這是我們是上一節影片中證明的第二部分
- 如果一個點到角的兩邊距離相等
- 那麽這個點一定在角分線上
- 所以
- I一定在角分線上
- I在角ACB的角分線上
- 因爲它到角ACB的兩邊距離相等
- 我們剛剛證明的是
- 三角形中有唯一一點
- 同時在三條角分線上
- 三條線時不是很明顯
- 通常三條線
- 不會交於一點
- 兩條直線時很合理
- 但是三條直線不總相交於一點
- 讓我們看一下外心
- 我們取邊的垂直平分線
- 很整潔 它們相交一點
- 現在我們證明
- 角分線也相交於一點
- I在角ACB的角分線上
- 角ACB的角分線看起來像這樣
- 像這樣
- 這個角
- 等於這個角
- 我們剛剛證明了
- 三角形的三條角分線
- 相交於唯一一點
- 同時在三條上
- 我們應該取個特別的名字
- 實際上我們有
- 這是我爲什麽把它叫做I
- 我們把I叫做內心
- 三角形ABC的內心
- 你們將看到第二個原因它爲什麽叫做內心
- 當我們談到外心
- 它是一個圓的圓心
- 三角形外接圓的圓心
- I 我們將在五秒鍾之內看到
- 是一個圓的圓心
- 是一個圓
- 可以放在三角形內部
- 與三條邊相切
- 我們怎麽構造它呢
- 我們剛剛證明了
- I和三邊距離相等
- 這個距離和那個和那個相等
- 如果我們以I爲圓心
- 以I到任意一邊的距離
- 爲半徑
- 以IF或IG或IH爲半徑
- 你將得到
- 這樣一個圓
- 將得到這樣一個圓
- 你將
- 讓我畫得好看些
- 我沒有
- 你可以想象
- 這是我畫得最好的了
- 這個圓的半徑
- 等於I到各邊的距離
- 我們已經證明它們相等了
- 它們都在圓內
- 我們把它叫做內切圓
- 所以圓I
- 記住用圓心表示圓
- 圓I是三角形ABC的內切圓
- 圓I的半徑
- 我們可以叫這個距離R
- R等於IF等於IH
- 等於IG
- 我們把這個長度叫做內徑
- 很有道理 因爲它在裏面
- 我們有
- 當我們談到
- 垂直平分線的交點時 我們有外心
- 因爲它是三角形的
- 外接圓的圓心
- 現在我們談的是角分線的交點
- 用它我們可以定義一個圓
- 它在一個三角形中
- 與各邊相切
- 因爲它在三角形中 我們叫它內切圓
- 我們把角分線交點叫做內心
- 我們把這個距離叫做內徑
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