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相關課程
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- 我們知道怎麽求一個等邊三角形的面積
- 我想在這段影片中嘗試著去求一個科赫雪花的面積
- 我知道我把科赫曲線念錯了
- 怎麽構造一個科赫曲線呢
- 先畫一個等邊三角形
- 把每個邊三等分
- 再以中間的三分之一爲底
- 再做一個小的等邊三角形
- 這是第二步
- 下一步你需要做的就是 對所有的邊這樣做
- 所以在這兒 這兒 這兒都有一個小的等邊三角形
- 我想你已經得到一個基本思路 這是一個很好的收獲
- 所以接下來 再對所有的邊重複上述操作
- 真正精彩之處
- 也是我們在之前的影片中也展示過的
- 就是你得到了一個周長無窮大的圖形
- 但是在這段影片中 我們會發現它的面積其實是有限的
- 這一點是很有趣的 值得大家思考
- 所以 我們現在從一個很完美的等邊三角形開始
- 我們設每個邊長度爲S
- 所以 這是一個每個邊完全相等的等邊三角形
- 我會畫的更清楚一些 每個邊都是等長的 長度爲S
- 並且 隨著它逐漸變成一個雪花
- 我還會注意追蹤記錄兩件事情
- 我會追蹤記錄三角形的邊長
- 我會追蹤記錄邊的數量
- 我還會在每一步增加了更多的小三角形之後
- 記錄下它的面積
- 所以這個就是整個區域的面積
- 實際上 讓我再多給自己多留一點地方
- 因爲我感覺我會用到它
- 所以用這個是表示邊
- 我要寫在這兒
- 然後這個是代表這塊區域的面積
- 所以從我們剛開始的時候
- 有三個邊
- 我們設每個邊的邊長是S
- 在之前影片中我們想要求的面積
- 是根號下三乘以S的平方
- 再除以四
- 所以說這就是個簡單的等邊三角形
- 現在我們要把每個邊平分成三部分
- 所以現在我們把每個邊平分爲三部分
- 然後在中間的三分之一處
- 做一個小的等邊三角形
- 所以它看上去就是這樣 在那邊的一側
- 我想讓你們思考一下我們在對這些邊做什麽
- 在我做這些之前 這只是一個邊
- 然後我把它分成三部分 這是中間的三分之一
- 然後再在這裏畫兩個邊
- 我做好了一個等邊三角形
- 所以現在一個邊變成了一 二 三 四 四個邊
- 所以我們每做一次
- 都會把曲線變得更複雜
- 每個邊都會變成四個邊
- 所以你可以想象一下 如果我們對所有這三個邊
- 進行上述操作 四乘以三 我們會得到十二個邊
- 所以如果你用四去乘這個
- 現在我們得到了十二個邊
- 我們可以數一下
- 確保我們做的是對的
- 一 二 三 四 五 六 七
- 八 九 十 十一 十二 總共十二個邊
- 現在面積是多少呢
- 現在的面積就等於
- 黃色等邊三角形的面積
- 再加上每個小三角形的面積
- 那麽小三角形的面積是多少呢
- 好的 首先我們有三個小三角形
- 我們有三個小三角形
- 然後再用等邊三角形的面積公式
- 根號下三乘以S的平方
- 現在對於每個邊的長度
- 每個邊長也就是那些小三角形的邊長
- 它們不再是S了
- 它們是S除以三
- 記住剛剛得到的這個邊長是S除以三
- 所以現在也是S除以三
- 每一步
- 等邊三角形的邊長
- 都變成前一步的三分之一
- 所以面積也不再是S的平方
- 而是S除以三的平方
- 然後除以四
- 然後我們進行下一步
- 所以 我先在這兒畫一些三角形
- 再在這兒畫一些
- 這些是我這一步
- 要畫的最後的三角形
- 所以從一開始 和這一步操作之後
- 我會得到多少邊呢
- 好吧 之前那一步我得到了十二個邊
- 當我加上這些橘色凸出來的三角形
- 這十二個邊中的每一個都會變成4個新邊
- 所以當我再乘以四的時候
- 我拿十二乘以四
- 現在我有了四十八個邊
- 我有了四十八個邊
- 現在有多少新三角形呢
- 所以現在整個圖形的面積就是黃色區域的面積
- 加上藍色區域再加上橘色區域
- 有多少新的橘色三角形呢
- 好吧我正在前一步中的每一個邊上
- 加一個新的橘色三角形
- 之前總共有十二個邊
- 所以現在我要加上十二個橘色三角形
- 我要加十二個橘色三角形了
- 實際上 讓我這麽寫
- 我就寫十二個橘色三角形 但是
- 我只是乘以四
- 然後我想要乘以根號三
- 現在不再是S除以三了
- 現在是S除以九
- 現在它們是原來那些藍三角形的三分之一了
- 所以現在是九分之S
- S除以九的平方再除以四
- 所以如果我們在這步之後繼續下一步
- 我認爲你們已經可以開始研究這個構建好的圖形
- 稍微往右移動一點 它會變成什麽樣呢
- 現在我們用一種之前沒用過的顔色
- 讓我看看 我還沒用過粉紅色
- 所以現在我們用粉紅色
- 我準備把它們用在之前的邊數
- 這是我新三角形的數目
- 四十八乘以根三再乘以S再除以
- 現在這些是之前的三分之一
- S除以27的平方 整體再除以4
- 我準備一直往後加不停地加
- 來得到最後科赫曲線的面積
- 所以我只是一遍遍地重複這些步驟
- 所以實際上技巧就是找到這無限個數的和
- 看看我們是不是可以找到一個有限的數與它相等
- 所以首先我想要做的就是簡化
- 讓我只是重新寫一下
- 讓我重新寫一個和這個有些差別的
- 所以第一個事情就是 也是很明顯的一點
- 就是每一項都有根三乘以S的平方除以4
- 讓我們把那個提取出來
- 如果我們從所有的項裏
- 提取根三乘以S的平方除以4
- 然後這項就會變成1
- 這個地方是3
- 讓我們看看 分別提取了根三 提取S的平方
- 又提取了這個4
- 我們只提取了S的平方
- 所以現在是加上三乘以
- 三分之一的平方
- 這些都是這一項剩下的
- 我們有三分之一的平方
- 我們有個3
- 我不是故意去簡化它
- 我們看到了一個規律出現
- 再加上這一項
- 這個12還在這兒
- 但是我準備寫三乘以四
- 我們就要消去項式了 這就是我們提取的
- 根號三
- 我們提取四
- 我們提取S的平方
- 所以我們會剩下三的平方
- 就是這個在下面的平方項
- 所以這就是三分之一 然後平方
- 也就是我們剩下的橘色部分
- 我們要把它們塗成粉紅色
- 粉紅色部分 48 也就是3乘以4乘以4
- 3乘以4
- 我在這兒寫4的平方
- 因爲我們還要不停地乘以4
- 接下去是4的3次方
- 因爲我們一直在重複
- 每個邊變成四個邊
- 這就是4從哪裏出來的
- 我們提取根號3
- 我們提取4 我們提取S的平方
- 我們剩下的是三分之一的三次方
- 乘以三分之一的三次方
- 我們要一直這樣做到底
- 一直這樣做下去
- 在每一步 我們不斷遞加
- 又乘以4 所以 我們也在遞乘
- 而且 我想說 4的指數也不斷遞增
- 4的指數從0到4
- 我們這裏有一個1
- 你可以自己把它想象成第一項
- 4的一次方 再乘以4 成爲第三項
- 這個的指數也在遞增
- 三分之一的一次方 二次方 三次方
- 我們會發現指數也總是一一遞增
- 這樣的話 計算這無窮多個數就會簡單些
- 如果都是增加相同的指數
- 這無窮多個數會變成無窮幾何級數
- 我想做的是
- 增加4的級數
- 但是我不能隨隨便便地把每一項都乘以四
- 如果我把每項乘以4
- 我也要把每一項除以4
- 我想做的就是這樣
- 我要把每一項先乘以4 再除以4
- 如果我們除以4 我們可以在外面除
- 所以我在這兒乘以四分之一
- 我在這兒除以4
- 我要把它乘以4
- 並不改變原來式子的實際值
- 就變成了4 加3乘以4
- 加上3乘以4平方 4的3次方
- 最棒的是
- 這些項的所有指數
- 會變成一樣的
- 但是似乎有一點奇怪的是
- 這是三分之一的平方 再平方
- 這裏是三分之一的三次方 外面卻是平方
- 我們必須明白
- 這些也必須要被平方
- 這就是遞增的部分
- 但是一般說來
- 如果一個三分之一的N次方
- 然後平方
- 這個相當於三分之一的到2N次方
- 所以我只是拿兩個相乘 對吧
- 如果我一直增加指數
- 來升次
- 相乘多次 再升次
- 或者在指數升一直到N次
- 這是一樣的
- 隨著三分之一的指數一直到N次
- 我們可以用一個很合理的方法
- 來轉換這兩個指數項
- 讓我把所有東西重寫
- 因爲我不想一步寫這麽些
- 所以這一部分變成根號3乘以S的平方
- 除以16 然後乘以前括號
- 和後括號
- 我們再加上4
- 我用藍色
- 3乘以4的一次方
- 然後我在這兒寫
- 我可以重新寫三分之一的一次方
- 我們可以把它當成當三分之一的平方
- 我們可以當成這個
- 三分之一一次方的平方
- 我可以把它當成這個 三分之一的二次方
- 我想這樣寫
- 九分之一的一次方
- 然後加上3乘以4的平方
- 這個我們可以寫成 乘以九分之一的平方
- 這裏我們可以寫成 加上3乘以4的三次方
- 根據這裏 我們可以把它寫成
- 根據這裏 我們可以把它寫成
- 二十七分之一的平方
- 但是我們可以以我們剛剛看到的那些爲基礎 寫出來
- 讓我把這個說清楚
- 三分之一的三次方的平方
- 這個和三分之一的平方的三次方是一樣的
- 就是我們剛剛展示的那樣
- 也就等於九分之一的三次方
- 現在我們就可以看出規律了
- 現在開始整理一下
- 讓我再多多一步
- 我們會在下段影片中得出結果
- 等於根3乘以S的平方
- 除以16 括號裏 4加上3乘以
- 九分之四 加上
- 下一項是3乘以九分之四的平方
- 我們再加上3 乘以九分之四的三次方
- 我們只需要一直做下去
- 用三乘以九分之四
- 隨著指數不斷接連增加
- 這就是我們用來尋找面積之和的方法
- 下段錄影中我會繼續講解
- 我們會用到一些工具
- 我們已經用無窮幾何級數的方法求和
- 不過在下段錄影中我們會重做
- 所以你們不必記住這個公式或者證明