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寇茲雪花圖 (英): 有一定的面積但是周長無限大的形狀
相關課程
- 這是一個等邊三角形
- 我將在這個等邊三角形外
- 做出另一個形狀
- 對這個三角形的每一邊
- 將它們分割爲三等分
- 我的等邊三角形並沒有畫得非常標準
- 但我想你能理解
- 在中間這一段
- 我想構建另一個等邊三角形
- 就在這個中間部分
- 我馬上會構建另一個等邊三角形
- 它們看起來是這個樣子的
- 就在這裡
- 我會構建另一個等邊三角形
- 從等邊三角形著手
- 現在它看起來像一個星星 或可以說是大人造衛星
- 再次重覆剛才的步驟
- 現在對每一邊 我將之分割爲三等分
- 在中間這一段 我將構建一個等邊三角形
- 在這兒構建一個等邊三角形
- 在中間這一段 我也將構建一個等邊三角形
- 在每一邊都重覆這樣的步驟
- 這裡做一個等邊三角形 這裡也是
- 你應該明白了但我想讓這更加明晰 讓我畫下去
- 就像這樣
- 這一輪可以完成了
- 圖像會像這個樣子
- 我可以再做一次
- 每一條線段我都分割成三等分
- 在它的基礎上 畫出另一個等邊三角形
- 就像這樣
- 我想你知道接下來是怎樣的
- 我可以這樣持續地畫下去直到永遠
- 在這段影片中 我想探究
- 這裡的情況是怎樣的
- 我實際上在畫的是
- 如果我們持續畫下去直到永遠
- 對於每個循環 我們著眼每條邊
- 將之三等分
- 在下一個循環又三等分
- 下一個循環
- 在中間的部分 我們將構建另一個等邊三角形
- 這裡我們構建的新圖形
- 稱之爲科赫曲線
- 我想我把科赫這個音念錯了
- 應該是科赫曲線
- 這最初是由一名瑞典的數學家尼爾斯海格馮科赫
- 這位紳士所提出來的
- 我想我又念錯了
- 這也是最早被描述成的分形之一
- 這是一個分形
- 它被定義爲分形的原因是
- 它看起來極其相似
- 或是說以任何的尺度去看它都是很相似的
- 當你在這個尺度下觀察圖形
- 你將看到一群上面有突起的三角形
- 如果你將這裡放大
- 你會看到跟之前一樣的圖案
- 再放大
- 你會又一次看到相同的圖案
- 因此 一個分形指的是 無論以任何尺度
- 任何縮放比例 看起來都大致相同
- 這是它稱之爲分形的原因
- 最有趣的是什麽
- 我又爲何在這時候把它放在播放列表上
- 這都是因爲這個圖形的周長是無窮大的
- 如果你持續的畫下去
- 假使你構建的真的是科赫曲線
- 那麽在每個更小的三角形上
- 你持續無限次地構建
- 在每一邊構建一個等邊三角形
- 去證明它的周長是無窮大的
- 我們考慮它的一條邊
- 就比如說這一條邊
- 我們從最開始的
- 原始三角形入手
- 假設它每一邊的長度是S
- 我們將之分割爲三等分
- 我們分割它爲三等分
- 每一邊都是S的三分之一 我們這樣表示它
- S的三分之一 S的三分之一 S的三分之一
- 在中間這一段 構建一個等邊三角形
- 在中間這一段 構建一個等邊三角形
- 每一邊都是S的三分之一
- S的三分之一 S的三分之一
- 這個新圖形的長度
- 對了 由於有突起 我們不能稱它爲直線了
- 這一部分的長度
- 不再僅僅是S了
- 而是S的三分之一乘以4
- 之前是S的三分之一乘以3
- 而現在有4個長度爲S的三分之一的線段
- 所以像這樣重覆一次的構建三角形
- 再把三角形的長度加起來
- 我們新的一邊
- 突起後是4倍S的三分之一長 即S的三分之四
- 假設我們原始的周長是P0
- 一輪之後 我們得到了好幾個突起
- 周長變爲了
- 原始周長的三分之四
- 由於現在每一邊都將擴大爲三分之四倍
- 假設起始是由三條邊構成的圖案
- 而現在每一邊的長度都擴大爲之前的三分之四倍
- 於是新周長也變成了原周長的三分之四倍
- 再此基礎上進行第二輪
- 這將得到第一輪長度的三分之四倍
- 每一輪的長度都將擴大到上一輪的三分之四倍
- 這是第三輪在擴大了
- 這一輪的長度也是上一輪的三分之四倍
- 如果你繼續無限次地重覆這些步驟
- 任何一個數無限次乘以三分之四
- 你都將得到一個無窮大的長度
- 也就是第無限個P
- 在無限次重覆後得到的周長 將是無窮大
- 這極其有趣
- 想想一個東西竟然周長是無窮大
- 更神奇的是它的面積卻是有限大的
- 我所說的有限大的面積
- 實際上指的是它包含了一個有界的空間
- 我可以環繞它畫出這樣一個圖形
- 而科赫曲線永遠不會超出這個圖形
- 我不準備做出一個嚴謹的證明
- 請想想每一邊將會發生什麽
- 在第一輪 我們得到這個突起的三角形
- 接下來繼續構建三角形
- 下一輪你在這裡構建兩個三角形
- 那裏也構建兩個三角形
- 然後你又四處構建一些三角形
- 如此等等地構建三角形
- 請注意 你可以像這樣持續地增加三角形
- 構成無限個的突起
- 但你永遠不會超過最初的這個頂點
- 對於這一邊是一樣的道理
- 另一邊也一樣適用這個道理
- 這一邊同樣如此
- 那一邊也是一樣
- 而對那一邊也是同樣正確
- 即使你無限次地重覆這些步驟
- 這個科赫曲線
- 其面積也不可能超越這個有界的六邊形
- 或者說它的面積不會大於
- 這樣一個圖形的面積
- 我只是隨意大致地勾畫
- 在這個六邊形之外
- 勾畫一個圓圈
- 這個圓圈我用藍色勾畫 六邊形我用洋紅色勾畫
- 很明顯它們有固定的面積
- 因此科赫曲線將永遠是有界的
- 即使你加上無限個突起
- 這一堆圖案真是太神奇了
- 首先 這是個分形
- 你可以隨意放大 它看起來還是一樣
- 然後 它擁有無窮大的周長和有限大的面積
- 或許你會說 等等 這個太抽象了
- 這樣的東西並不出現在真實生活中
- 有一個著名實驗
- 人們會在分形世界裏提到
- 這就是測量英國國土的周長
- 當然了 你可以由此得到任何國家國土的周長
- 英國國土的外形就像這樣
- 我並不是這方面的專家
- 就假設它像這個樣子
- 首先 你可以粗略估計它的周長
- 測量這一段距離
- 再測量那一段的距離加上這段的距離
- 和這段 這段 這段 以及這段的距離
- 看
- 這個周長是有限的
- 很明顯 它的面積是有限的
- 但這看起來也有一個有限的周長
- 你會覺得 不 這並不夠精確
- 你需要再稍微精確一點去估計
- 而不是那麽粗糙地去估計
- 你需要一堆更小的線
- 你需要去構建更小的線
- 才能更貼近海岸
- 你會覺得 好的 這樣已經很精確了
- 但如果我們截取海岸的一部分 將之放大
- 如果是足夠的放大
- 那麽實際的海岸線看起來就會像這樣
- 實際的海岸線都會有這樣的小花邊
- 基本上 當你最初做這樣的路線時
- 你只是在估量它的長度
- 可這並不是海岸線的周長
- 你必須去構建更多的線
- 你要像這樣做
- 才能真正得到海岸線的周長
- 你會覺得 哇 這是一種粗略估計的好辦法
- 可是只要你再繼續擴大那一部分的海岸線
- 你會發現這實際上並不是看起來的那個樣子
- 它實際上是像這樣凸凹不平的
- 也或許像那個樣子
- 取代那些粗略的線條 我們想那樣去估量長度
- 你會說 等等
- 現在我需要更加貼近它
- 你可以持續這樣做
- 一直到原子水平
- 因此真實的島嶼海岸線
- 大陸海岸線或其它任何海岸線 都是分形狀的
- 你可以想象一下
- 它有幾乎無窮大的周長
- 很明顯 在一定程度上
- 你將進入到原子水平去研究它
- 因此這也不是完全相同
- 但卻是同樣的現象
- 這樣想想確實是一件有趣的事
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