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三角形的中線與重心的例子 (英) : 用到中線性質的例子
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- 我們已知邊AE等於12
- 邊EC等於18
- 所有的中性線都已畫出
- 我們看得出來是中性線
- 它們與對邊相交的交點
- 把對邊平分
- 這邊ED和CB分別與DC和BA相等
- AF等於EF 所以F B D是中間點
- G就是質量中心
- 質量中心就是中性線的交點
- 有關質量中心的第一個問題就是
- 這個三角形BGC的面積是多少
- 要算出三角形的面積
- 我們來回想一下質量中心的定義
- 質量中心是三角形三條中性線的交點
- 它把三角形分成六個面積相等的小三角形
- 所以我們只要知道整個三角形的面積
- 就能算出小三角形的面積
- 我們來看看這個直角三角形
- AE等於12
- 我們要用它乘以另一個直角邊
- EC等於18
- 所以三角形AEC的面積就是
- 1/2乘以底18和高12
- 得出結果是108
- 這就是整個大直角三角形AEC的面積
- 要得出小三角形BGC的面積
- 或者是任意一個小三角形的
- 或者更準確地說
- 由中性線分割出來的任意一個小三角形
- 我們只要把整個三角形的面積除以6
- 因爲我們之前已經證明過這六個三角形面積相等
- 所以三角形BGC的面積等於三角形AEC的1/6
- 就是108除以6
- 十位爲1還余48
- 最終結果是18
- 驗證一下18乘以6確實是108
- 所以我們知道這一部分面積是18
- 我們也可以知道
- 所有以中性線爲邊的小三角形
- 都有同樣的面積18
- 例如三角形FGE面積即是18
- 我們完成了三角形面積的計算
- 現在讓我們看看下個問題
- 這條中性線上較長的一邊AG的長度是多少
- 我們先來回顧一下定義
- 三角形的質量中心是三條中性線的交點
- 它是中性線的一個三等分點
- 它把中性線分爲兩條線段
- 這兩條線段的比例是2:1
- 要求出AG的長度
- 我們只需要求出整條中性線的長度
- 然後乘以2/3就行了
- 這裡我們已經知道這是一個直角三角形
- F和D是中間點
- 我們已經知道AE等於12
- 這邊調整了顏色的線段ED
- 長度就是18乘以1/2等於9
- 我們將要用這個ED來求中性線的長度
- 根據勾股定理
- AD是直角三角形的斜邊
- 我們現在來看三角形AED
- 讓我用筆來計算
- 我們知道
- AD的平方等於
- 9的平方加上12的平方
- 12的平方144加上9的平方81
- 等於225
- 等於AD的平方
- AD的平方爲225
- 所以我們知道
- AD等於15
- 因爲我們要求的是邊的長度
- 我們不考慮負數
- 所以我們只取正的平方根
- AD只能等於15
- 這條邊是15
- 我們之前已經證明過
- 三角形的質量中心是三條中性線的交點
- 它把三條中性線三等分
- 這裡AG是中性線上較長的一段
- AG的長度就是AD的2/3
- AG等於15乘以2/3
- 最後結果是10
- AG的長度就是10
- 第二個問題就這樣解決了
- 現在來看第三個問題
- 我們要求出這個加深顏色的三角FGH的面積
- 要求出三角形FGH的面積
- 我們只需要知道HG和FH的長度
- 這裡我們可以用很多種方法
- 來求出HG和FH的長度
- 我們首先來回顧一下
- HG是三角形FGE的高
- HG也是三角形AFG的高
- 這兩個三角形的底都是6
- 兩個三角形底都是6
- 這條邊和這條邊是6
- 他們都有高GH
- 我們早已經知道三角形的面積
- 這個三角形的面積爲18
- 我們就用這邊這個三角形AFG爲例
- 我們知道三角形的面積
- 等於底邊和高相乘除以2
- 這邊這個三角形AFG的面積
- 我們就可以用GH乘以AF
- 再除以2
- 最後得出的面積一定是18
- 通過計算得出
- 3乘以GH等於18
- 等式兩邊同除以3
- 得出GH等於6
- 這是一種方法來求邊GH
- 我們也可以用同樣的方法
- 只不過換一個三角形
- 我們來看這個大一點的三角形
- 這條邊是斜邊
- 它的長度是整條線段的2/3
- 這條邊的長度就是9乘以2/3等於6
- 這是另外一種方法求GH
- 無論什麽方法我們都得出GH等於6
- 我們現在來求FH的長度
- 我們只需知道AH的長度就可以得出FH的長度
- 我們已經知道AF等於6
- FH就等於AH減去AF
- 所以我們要先求出AH長度
- 我們可以用與上面相同的方法來求AH
- 我們用嚴謹的方式來求AH
- 這個大的三角形和這個小的三角形
- 都有個直角
- 他們也有一個同樣的非直角
- 他們有兩個相同的角
- 所以他們是相似三角形
- 我們要求這兩個三角形的相似比
- AH比上AE等於AG比上AD
- AE等於12 AG等於10
- AD等於15
- 直接可以看出AH等於12的2/3
- 我們通過計算來演示一遍
- 運用相似三角形的性質
- 等號右邊是2/3
- 兩邊同時乘以12
- 右邊等於4
- AH等於8 AF等於6
- 所以這裡的FH等於2
- 現在我們有了足夠的信息
- 用這些信息我們就可以求出三角形FGH的面積
- 讓我寫下來算
- 三角形FGH的面積等於
- 1/2乘以底FH再乘以高
- 我也可以用別的邊做底
- 1/2乘以2乘以6
- 最後結果是6
- 運用這些方法
- 我們可以通過計算
- 算出幾乎所有線段的長度
- 也可以用不同的方法
- 算出每一個區域的面積
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