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中線將三角形分割成等面積的小三角形 (英) : 三角形的三條中線會把它分成六個面積一樣的小三角形。
相關課程
- 但是我現在想的是 如果有些三角形
- 三角形ABC
- 三角形的中性線是什麽
- 它們之間的關係是怎樣的
- 他們有什麽有趣的特性
- 你們可能會猜出這些東西
- 中性線就是 從一個頂點出發
- 我們就從這裡開始
- 然後我們二等分對邊
- 這條線就是中性線
- 中性線從那裏開始 二等分對邊
- 從B到 比如說D 的線段長度
- 等於D到C的線段長度
- 現在我們對每個邊都這麽做
- 就像這樣 我可以在這兒畫條中性線
- 我們把這點設爲E
- 從A到E的長度
- 就會和E到C的長度相等
- 盡管這個有點偏了
- 但他們還是很接近的
- 我們等下要畫另一條中性線
- 在這個影片裏我不會證明這一點
- 但所有的中性線 這又是個奇妙的事
- 三條線總是交於一點
- 所有的中性線都會相交在那一點
- 他們都是共點的
- 他們都會相交於中間的一個共同點
- 讓我們這樣畫
- 我不會在這個影片裏證明長度的問題
- 我們把那邊的那個點設成F
- 這個就是它的長度
- 這邊的長度等於那邊的長度
- 這些中性線相交的那個點
- 我們叫它幾何中心
- 當我們開始學物理的時候
- 如果你真的學 這是個均勻三角形
- 你需要畫這個
- 它會繞著這裡的幾何中心旋轉
- 但現在我們只是從幾何的角度學習
- 我們設這個幾何中心 哦 我們不能再用F了
- 我們設這個幾何中心爲G
- 現在我要講的是 它自己很齊整 有個幾何中心
- 你要是把它畫出來 它是個勻色素體
- 它會繞著幾何中心旋轉
- 但更奇妙的是
- 我們可以看到我們分割的三角形
- 6個小三角形
- 這很酷
- 盡管它們不一定是全等三角形
- 但它們面積一樣
- 這正是我們要在這個影片裏證明的
- 這6個三角形都有著相等的面積
- 爲了便於理解 我們先看2個
- 我們會討論不同的成對的三角形
- 我們先看這裡這兩個三角形
- 我們來看這裡的兩個三角形
- 要證明這兩個面積相等
- 我們要用到一個簡單的定理
- 想象這兩個三角形在旋轉
- 只是那邊的兩個三角形旋轉
- 就會像這樣
- 就會像這樣
- 讓我盡最大努力畫啊
- 這就是G 我甚至把它跟那個G
- 塗成一樣的顏色
- 這就是那裏的那個邊
- 這是C點
- 這是B 就是那裏的那個B
- 然後這裡的邊
- 就是這條中性線的第二部分
- 這裡的點是D
- 現在 我們知道 呃 這裡我畫的不太好哈
- 我們知道這個長度等於這個長度
- 這兩個三角形 如果我們開始討論面積
- 他們底一樣
- 關於面積 我們知道
- 面積等於二分之一底乘高
- 我們確定兩個底相等
- 那它們的高呢
- 其實它們的高也相等
- 它們的高 都是這麽高
- 它們有著同一個高
- 它們底相等
- 高相等
- 對於這裡的鈍角三角形來說 頂垂直線在它外面
- 這裡有點難懂
- 如果你有一個像這樣的鈍角三角形
- 鈍角就是說大於90度
- 你的頂垂直線 你的高
- 在三角形的外面 這沒什麽問題
- 這兩個三角形有相等的底 相等的高
- 它們必須面積相等
- 如果這個面積是X
- 那麽這個的面積也是X
- 你可以用同樣的方法 比如說
- 這個三角形和這個三角形 它們底相等
- 高也相等
- 這個的面積是Y
- 那麽那邊的面積也是Y
- 它們的面積都相等
- 最後
- 我們可以用這兩個特性做同樣的事
- 它們都有相等的底
- 比如說BF等於FA 而且它們高也相等
- 我們這麽畫頂垂直線
- 如果我們設這個面積爲Z
- 你也可以叫它面積Z
- 到目前位置 我們已經證明 我們可以
- 把它分成三對面積相等的三角形
- 但是我們想證明它們的面積都相等
- 這裡 我們要用到同樣的定理
- 但是我們用來自不同組合的三角形來證明
- 現在 讓我們來看下這個三角形 三角形BAE
- 看三角形BAE
- 三角形BAE的面積
- BAE的面積等於Z+Z+Y
- Z+Z+Y
- 我們再來看下三角形BEC的面積 BEC就在這兒
- 它就是
- 這裡的三角形面積就是X+X+Y
- 同理可證 三角形BEC的面積就是X+X+Y
- 它們都有相等的底 相等的高
- 我們可以這樣畫頂垂直線
- 這是個鈍角三角形 頂垂直線在它外面
- 但它們都有相同的高
- 這兩個面積相等
- 你知道Z 嗯 我們就直接加起來
- 現在你知道2Z+Y和
- 2X+Y相等
- 2X+Y
- 兩邊都減掉Y
- 你得到2Z等於2X
- 兩邊同時除以2
- 你得到Z等於X
- 我們可以 把這裡寫成X 那裏寫成X
- 我們知道這些都有相同的面積
- 但是我們還是要擔心這裡的Y
- 要知道Y
- 我們只需要轉變思路
- 現在看三角形ADC
- 我們用一個不同的顏色
- 這邊我加亮的是三角形ADC
- 三角形ADC的面積就是2Y+X
- 就等於2Y+X
- 看那個三角形 讓我看看啊 還有那些顏色我還沒用過
- 用綠色吧
- 三角形ADB
- 三角形ADB的面積就是
- 嗯 你可以說它是2Z+X
- 但是我們知道Z等於X
- 它其實是X+X+X
- 它其實就等於 ADB就等於3X
- 我們用相同的想法
- ADB的底是這個 跟ADC的底是一樣的
- 而且它們的高也一樣
- 我們可以這樣畫頂垂直線
- 我們也可以這麽畫頂垂直線
- 它們的高都是一樣的
- 我們又一次用到同樣的定理
- 這些三角形都等於另一些三角形
- 我們得到2Y+X等於3X
- 兩邊減掉X
- 你得到2Y等於2X 或者說Y等於X
- 所以又是這個奇妙的結果
- 當你從三角形的每個頂點到對邊時
- 二等分對邊 你這麽做三次
- 你得到三條中性線
- 這些線段叫中性線 相交點叫幾何中心
- 你知道真的酷的是
- 它把三角形分成6個面積相等的小三角形
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