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海龍公式證明 (第一部分) (英): 海龍公式證明 (第一部分)
相關課程
- 現在有個三角形
- 現在我只知道三角形的邊長
- 這條邊長爲a 這條邊長爲b
- 這條邊長是c
- 問題是求這個三角形的面積
- 我們知道三角形的面積
- 等於1/2乘以底
- 乘以高
- 按照我畫的三角形
- 底是c
- 但高未知
- 設高爲h
- 但我們不知道h是什麽
- 問題是如何算出三角形的面積
- 如果你看了最後一個影片就知道應該使用海倫公式
- 但現在的思想是要證明這個公式
- 現在讓我們僅用勾股定律
- 計算出h
- 因此一旦我們知道h就可以應用這個公式
- 求出這個三角形的面積
- 讓我們定義另個變量
- 這個技巧你將經常在幾何學中看到
- 讓我定義這個爲x 用品紅色表示
- 那麽用藍紫色表示c-x 對吧
- 整條底邊長爲c
- 所以如果這部分是x 那麽這部分就是c-x
- 現在已知有兩個直角三角形
- h爲它們的高
- 我可以列出兩個勾股定理方程式
- 首先 我來做左邊的
- x的平方加h的平方等於a的平方
- 這是從左邊三角形得來的
- 再看右邊這個三角形
- c-x的平方加上h的平方等於b的平方
- 假設a b c已知
- 那麽現有就兩個方程兩個未知量
- 這兩個未知量是x和h
- 記住 因爲我們已經知道c
- h才是我們要求的量
- 一旦我們知道h 就可以運用面積公式了
- 那麽我們該怎樣做呢
- 把h替換來求出x
- 我的意思是在這個式子中h平方的表達式
- 假如求h的平方 我們只需在兩邊
- 都減去x的平方
- 可以寫h的平方等於a的平方減去x的平方
- 然後我們可以利用這點
- 把h的平方替換爲a與x的表達式
- 下面的式子爲c-x的平方加h的平方
- 我們在上邊的式子已經替換了h
- h就等於 我用這種顏色表示
- a的平方減去x的平方 右邊是b的平方
- 我把這的值替換在這
- 這個替換在這兒
- 現在我們來展開這個式子
- c-x的平方等於c的平方減去2cx加上x的平方
- 再加上a的平方減去x的平方等於b的平方
- 式子中有x的平方和a-x的平方所以這些消去
- 讓我們在等式兩邊加上2cx
- 現在我們的等式左邊變爲c的平方加a的平方
- 我把2cx加在兩邊你會得到右邊是
- b的平方加上2cx
- 總結下 我消去了x的平方並且在
- 等式兩邊加上2cx
- 我的目的是求出x
- 一旦求出x 就可以計算出h再用公式
- 爲求x 我們在等式兩邊減去b的平方
- c的平方加a的平方減b的平方等於2cx
- 如果兩邊同時除以2c 將得到x等於
- c平方加a平方減b平方的結果再除以2c
- 我們便得到了x的值
- 現在我們的目標是計算出高
- 以便運用1/2乘以底乘以高
- 因此我們回到這邊的方程
- 來計算出高
- 讓我們往下拖動一些
- 我們知道h的平方等於a的平方減去x的平方
- 讓我們把求得的x值代入這個式子
- 所以這邊是減去這個值
- c平方加a平方減b平方後再除以2c 結果再平方
- 也就是x的平方 我們算出了高的平方
- h就等於這個結果的平方根
- 我來換種顏色
- a平方加c平方減去b平方全都是平方值
- c平方加上a平方減去b平方後
- 除以2c
- 就是三角形的高
- 就是我們開始用到的三角形的高
- 讓我們在這複製粘貼爲確保我們能夠
- 記住求出的值
- 用a b c 來表示高我們便能夠知道高的值
- 這是個複雜的公式
- 如果我們想要求出面積
- 讓我用粉色來做
- 這個面積將是1/2乘以底
- 底是整個邊長c乘以
- 剛才求出的高
- 讓我直接複製粘貼
- 那麽這就是面積的表達式了
- 現在你沒準覺得
- 它看起來不像海倫公式
- 你是對的它不是特別像
- 但我將在下個影片演示給你看 它就是
- 海倫公式
- 海倫公式更難記些
- 我將會運用到很多代數知識來簡化它
- 讓它變成海倫公式
- 它會起作用的 如果你能記住它
- 我覺得海倫公式就會更容易記憶
- 假如你能記住這個並且已知a b c
- 你就能運用這個公式
- 得到三角形的面積
- 事實上 這至少能夠證明這和運用海倫公式
- 得到的結果相同
- 最後一個影片 三角形邊長分別爲9 11和16
- 用海倫公式計算的面積等於18乘以7的平方根
- 讓我們看看應用這個公式我們能到什麽
- 面積等於1/2乘以16乘以
- 高c的平方256
- 加上a的平方81減去b的平方121
- 注意都是平方的 得到的結果除以2c
- 也就是32
- 讓我們看看是否能夠再簡化點
- 81減去121 也就是負40結果就是216除以32
- 面積就是1/2乘以16等於8
- 讓我們換種顏色
- 8乘以這個平方根81減121是負40
- 256減40是216除以32再平方
- 現在就是純計算問題了
- 讓我們用計算器算一下
- 我想要演示給你們看兩個數字應該是相同的
- 打開計算器
- 首先求得18乘以7的平方根是多少
- 這個結果是用海倫公式算的 我們得到了47.62
- 讓我們看看用另種方法是否也是47.62
- 8乘以81的平方根減去216
- 結果除以32再平方 之後再算出平方根
- 我們得到了相同的數字
- 我之前有點擔心出錯
- 因爲我並沒有提前做過運算
- 但這下你明白了
- 兩個數字相同
- 所以我們運用這個公式和海倫公式
- 求出的結果相等
- 我將在下個影片證明給你們看
- 這個式子能夠簡化成海倫公式
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