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海龍公式證明 (第二部分) (英): 顯示上一個影片的式子跟海龍公式是同回事
相關課程
- 在上一段影片中我說過這樣一個式子
- 來求一個三邊長分別爲a b c的三角形的面積
- 它的結果等同於海倫公式
- 在這段影片中我要講的是
- 通過一些最基本的代數運算
- 來證明上式與海倫公式相等
- 首先我們來處理一下1/2 c
- 把它放到根號中去
- 可得根號下c的平方分之四
- 去掉根號等於1/2 c
- 我用sqrt來代替根號 整個表達式就變成了這樣
- 那麽可以得到c的平方除以4的平方根
- 乘以剩下的這些項
- 我將它們複製並粘貼
- 乘上這個表達式 再把它展開
- 所以用4分之c的平方 乘以括號裏面的這些項
- 在末尾加一個括號
- 把4分之c的平方乘進括號 得到的結果與公式相等
- 這將是一個很複雜的過程
- 當這個式子會被簡化成像海倫公式那樣淺顯的時候
- 你會覺得很有成就感
- 根號下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方
- 除以4 減去4分之c的平方乘以括號中的項
- 展開括號
- 並把它寫成分子的平方除以分母的平方的形式
- c的平方加上a的平方減去b的平方 括號外的平方
- 除以分母的平方 即4c方
- 於是可以將這個c方和這個c方
- 一並消去
- 像這樣把所有的括號閉合
- 這個分母中的4 乘以另一個分母中的4
- 讓我這樣寫下結果
- 這和4的平方相等
- 接下來你會發現爲什麽我用4的平方代替16
- 現在我可以重新寫下這個式子
- 我隨機地變換了一下顏色
- 這個式子等於根號下ca/2 括號外的平方
- 我要把它寫成c/4的平方的形式
- 如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方
- 即4 再減去
- 把這個長的表達式也寫成平方的形式
- 即c的平方 加上a的平方 減去b的平方除以4
- 將分子和分母同時平方
- 將分子和分母同時平方
- 現在看起來好像很有趣
- 用另一個不同的顏色來表示這個括號
- 也許你還記得多項式的因式分解
- x方減去y方
- 可以寫成(x+y)(x-y)
- 現在我們要一遍遍地運用這個公式
- 把ca/2當作x 把這個當成y
- 那麽便構成了x方減y方這個式子
- 分解這個式子 可寫成
- 根號下 x+y即ca/2+y
- 乘以 x-y
- 其中y等於c方加a方x是 ca/2
- 減去這一串式子
- 或者讓我們用一種更好的方式 把減號寫成加號
- 加上負的c方 減去a方 加上b方 除以4
- 這一切等同於
- 這個與這個的和 再乘以這個與這個的差
- 像我剛剛說的那樣 加上它的相反數
- 即負的c方 減a方 加b方
- 運用這個式子
- 看看是否能夠將其簡化
- 我們可以通分得到公分母
- ca/2 等於2ca/4
- 這個也是 ca/2 即2ca/4
- 將分子和分母同時乘以2
- 我們可以把分子相加
- 我們的整個表達式等於根號下
- 我要把第一項寫成這樣的形式
- c方 加2ca 加a方 減b方
- 用這些項除以四
- 得到第一個表達式
- 下一個表達式
- 寫下它的分母是4
- 我們可以這樣寫
- 我們可以寫成 b方減去
- 括號 c方減2ca 加a方
- 只是爲了確保我在這裡有一個負a方
- 負負得正 在這裡有一個正的2ca
- 這裡有一個負的c方 這裡有減去括號內的c方
- 這兩個是等效的
- 現在我們需要來辨認一下
- 圈出來的這部分 可能有點亂
- 這部分等於a與c和的平方
- 這個等於根號下 括號
- c與a和的平方 減去b的平方 除以4
- 這是第一項
- 接下來是第二項也就是a與c和的平方
- 因此 整個式子可簡化爲
- b方減去a與c和的平方 再除以4
- 這是一個複雜的問題 我們取得了一些進展
- 但是我們可以看到一些 簡潔的分解因式的方法
- 而且 我們可以把這樣一個奇怪的式子
- 化簡成更簡單的形式
- 現在我們可以運用同樣的公式
- 一項的平方減去另一項的平方
- 一項的平方減去另一項的平方
- 接著分解它 把過程寫在同一行
- 我將縮小字體以便能寫下
- 這將等於根號下
- 這個因式可以分解成 這個加上這個
- 即 (c+a+b)(c+a-b)
- 和這個因式分解是相同的 這是x的平方 這是y的平方
- 乘以 (c+a+b)/4
- 來分解下一項 乘以 (b+c-a)
- 讓我稍微往右移一下屏幕
- 乘以(b+c-a)
- 這是X+Y即b-(c-a)
- 等同於(b-c+a)
- 這等同於
- 除以4
- 現在我可以重新來寫整個表達式了
- 將這個表達式
- 改寫一下
- 將4寫成2<i>2</i>
- 這個化簡過程終於要結束了
- 我們的表達式被簡化爲 根號下
- 寫成(a+b+c)/2
- 這是這一項 乘以這項 乘以這項
- 讓我在這把它簡化一下
- c+a-b 等於 a+b+c-2b
- 這兩項是相等的
- 這是a 這是c
- b-2b 等於 -b
- 對吧 這是-b
- 下一項是(a+b+c-2b)/2
- 或者可以拆開 寫成這樣的形式
- 接下來第三項也是同樣的思路
- 等於 a+b+c-2a
- 再除以2
- 如果我們用a加上-2a 就能得到-a
- 即可得 b+c-a他們是相同的
- 這些除以2 或者將分子分開
- 像這樣 除以2
- 到了最後一項
- 也許你已經可以從中分辨出海倫公式
- 但是我沒有在考慮海倫公式
- 那項很顯然與
- a+b+c-2c 是相等的
- 用c減去2c 得到-c
- 依然是 a+b-c 然後除以2
- 把這個除以二減去那個除以二
- 而且 在這一整串式子上還要加上一個根號
- 現在如果我們設 S=(a+b+c)/2
- 那麽這個式子會變得更簡潔
- 這是S這也是S這個也是S
- 那個也是S
- 確實簡化了許多
- -2b/2 等同於-b
- -2a/2 等同於-a
- -2c/2 同樣的道理 是-c
- 現在 重新寫上根號
- 這個式子等於
- 根號下 S乘以
- 我將用相同的顏色寫接下來的這些式子
- 乘以(S-b)(S-a)
- 再乘以最後一項 (S-c)
- 現在我們證明了 上一個影片中我們得到的式子
- 和海倫公式是一回事
- 它變得非常簡潔
- 我們只需要做一些複雜的推導就能夠證明它
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