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證明 - 三角形的三個高相交於一點 (垂心 英語) : Showing that any triangle can be the medial triangle for some larger triangle. Using this to show that the altitudes of a triangle are concurrent (at the orthocenter).
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- 在這個影片中我想展示的是
- 如果我們從任意三角形開始 這就是任意三角形
- 我們都可以將這個三角形看做
- 一個更大的三角形的中間點三角形
- 中間點三角形是指這個三角形的每個頂點
- 都是大三角形
- 每條邊的中間點
- 我想告訴你們 你們一定可以做到
- 對任意一個三角形 你都可以把它看做
- 一個大三角形的中間點三角形
- 怎麽做呢 首先畫一條線經過這個點
- 但是要和下面這條線平行
- 所以這條線和上面這條線
- 要平行
- 就像這樣
- 馬上我們就可以看到
- 關於這個三角形的一些有趣的現象
- 如果這裡有一條截線
- 我們可以把這一邊當做
- 這兩條平行線的截線
- 我們知道內錯角相等
- 所以這個角和這個角相等
- 而且我們知道這個藍色的角
- 會和那邊的角相等
- 現在我們看另外兩個邊
- 先畫一條線 平行於
- 三角形的這條邊 並且經過
- 這個點
- 讓我們畫得更準確一些
- 所以這兩個會平行
- 經過直線外的一點
- 一定可以作一條直線和這條直線平行
- 所以同樣的 我們可以利用內錯角
- 我們知道這裡的角
- 讓我們把它叫做橘色角
- 它的內錯角是那個角
- 我們也有同位角
- 這個藍色的角和這個角是同位角
- 所以它相當於那邊的角
- 那麽現在我們畫另一條直線 平行於
- 這裡的這條邊 和這個平行
- 經過這個頂點
- 經過和這條邊相對的頂點
- 就這樣畫
- 像這樣 你們就可以畫出這些平行線
- 讓我們看看出現了什麽
- 所以再一次 這兩條線平行
- 你可以把這條綠線看做一條截線
- 如果這條綠線是截線 那麽這個角
- 和這個角是同位角
- 如果我們把這條綠線看做
- 這兩條粉色線的截線 那麽這個角就相當於
- 這個角
- 如果我們把這條黃線看做
- 這些粉色線的截線
- 事實上我們可以這麽看
- 把這條粉色線看做這兩條黃色線的截線
- 那麽我們知道這個角
- 和這邊的角相等
- 如果把這條黃線
- 看做這兩條粉色線的截線
- 那麽這個角等於這個角
- 最後一點
- 我們需要考慮的最後一點就是
- 如果我們考慮這兩條平行的綠線
- 把這條黃線當做截線
- 那麽這個黃色的角在這裡
- 它和這個角相等
- 因爲這條黃線同時是這些綠線的截線
- 所以我想說的是
- 從這裡面的三角形開始
- 如果我這樣畫一些平行線
- 我得到了四個三角形
- 如果包括這個橘黃色的
- 這些三角形都是相似的
- 我們知道這些三角形相似
- 因爲它們的角度完全相同
- 你只需要證明兩個角相等就可以了
- 這四個三角形確實有相等的三個角
- 另外 我們也可以知道它們是全等的
- 所以這四個三角形都是相似的
- 而且是全等的
- 例如 這條黃色的邊
- 是這個黃線和綠線之間的三角形的一條邊
- 是黃色和綠色的邊之間的邊
- 在這個三角形上
- 所以這兩個三角形 我們有一個角 一條邊
- 還有一個角 根據角邊角全等定律
- 這兩個三角形是全等三角形
- 再看這裡面的三角形 我們原來的三角形
- 在黃邊和藍邊之間的這條邊
- 和這個三角形上
- 黃邊和藍邊之間的邊相等
- 同理 我們有角邊角全等
- 所以這個和這個全等 這個又和這個全等
- 這所有的三角形都是全等的
- 用同樣的方法證明
- 這中間的三角形和底部的三角形全等
- 你有一個角 藍色的角 紫色的邊 綠色的角
- 藍色的角 紫色的邊 綠色的角
- 他們是相等的
- 所以 如果所有的三角形都是全等的
- 那麽相應的邊都是相等的
- 那麽如果你看這個三角形
- 我們知道這條邊
- 在藍色的角和綠色的角之間的這條邊
- 和這個角相等
- 抱歉 和這個長度相等
- 它和這個長度相等
- 在藍色和綠色的之間 我們得到這個長度
- 在藍色和綠色的之間 我們又得到那個長度
- 在藍色和綠色之間 我們得到那邊的長度
- 那麽你很快就可以發現這個點
- 讓我給它做一個標記 或許我早該這麽做了
- 如果我們叫這個點A
- 我們看到A是這個邊的中間點
- 我們把這個叫點B 這個叫點C
- 那麽A是BC的中間點
- 這樣就可以了
- 我就可以這麽做了
- 現在讓我們看看另外的邊
- 所有三角形上綠色的邊
- 是這個
- 這條在藍色和橘黃色的角之間的邊
- 所以在這個藍色和橘黃色的角之間
- 有這條綠色的邊 在這個藍色
- 和橘黃色的角之間 有這條綠色的邊
- 同樣的 這個長等於這個長
- 所以如果我們叫這個點D
- 這個點E
- 你可以看到D是BE中間點
- 最後 這條黃色的邊
- 在綠色和橘黃色的角之間的
- 在這個綠色和橘黃色的之間 我們有一條黃色的邊
- 在這個綠色和橘黃色的之間 有一條黃色的邊
- 而且所有三角形都是全等的
- 同樣的 讓我把它叫F
- 我們知道F是EC中間點
- 現在我們已經做完了 我們已經證明了
- 如果我們從任意三角形開始
- 三角形ADF
- 我們可以作一個三角形BCE
- 讓三角形ADF是三角形BCE的中間點三角形
- 換句話說 三角形ADF的頂點
- 都是三角形BCE的中間點
- 或許你會說 這看起來挺有趣的
- 但是這有什麽意義呢
- 這所有的意義在於 我想利用這個事實
- 如果你給我任意的三角形
- 我都可以讓它成爲一個大三角形的中間點三角形
- 來證明三角形的三條高相交於一點
- 爲了證明 讓我們先畫三角形的高
- 從頂點A出發的高是這樣的
- 從頂點出發 畫向對邊
- 垂直於對邊
- 如果畫從頂點D出發的高 就是像這樣的
- 如果畫從頂點F出發的高 就是像這樣的
- 這整個影片就是爲了證明
- 這些高一定會相交於一點
- 你或許說 等等 我們怎麽知道的
- 我們怎麽知道它們共點
- 其實 你只需要想一想
- 它們是如何和大三角形相交的
- 這些垂直線
- 對大三角形來說是什麽
- 來看這條黃色的垂直線 記得嗎
- 這兩條黃線 線AD和線CE是平行的
- 所以如果這是90度的角 那麽
- 它的內錯角也是90度
- 所以這和CE垂直
- 而且它平分CE 因爲我們知道三角形ADE是中間點三角形
- 這是中間點
- 所以這就是垂直平分線
- 這是大三角形的一條垂直平分線
- 大三角形BCE的垂直平分線
- 所以小三角形的高是
- 大三角形的垂直平分線
- 其他的都是同理
- 如果這個角是90度
- 那麽這個角也是90度
- 因爲這條線平行於這條 這是截線
- 內錯角相等
- 所以這條線 小三角形的一條高
- 它平分大三角形的一條邊
- 它也是一條垂直平分線
- 大三角形的一條垂直平分線
- 接下來就是同理
- 對這條高也成立
- 它平分大三角形這條邊並垂直相交
- 因爲我們知道這兩條紅線
- 通過我們作大三角形的方法知道
- 它們是平行的
- 所以同理這是一條垂直平分線
- 綜上所述 如果你給我任意一個三角形
- 我可以作它的高 並且我知道這三條高
- 會相交於一點
- 它們會共點
- 因爲任意一個三角形 我都可以看做
- 一個大三角形的中間點三角形 而且它的高
- 是大三角形的垂直平分線
- 我們已經知道三角形的垂直平分線
- 相交於一點
- 所以它們確實相交於同一個點