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證明重心位於中線的2/3 (英): 證明重心把中線用2:1的比例分成兩個線段
相關課程
- 我畫個任意三角形
- 並把三條中性線也畫出來
- 中性線EB 中性線FC和中性線AD
- 我們知道這三條中性線相交
- 在G點 我們叫它幾何中心
- 我要在這個影片裏證明給你們的是
- 幾何中心在每條中性線的二分之三處
- 或者說我們隨便從三個中性線裏選一個
- 比如EB
- 我想做的是證明EG
- EG等於2倍的GB
- 所以無論這個長度是多少 另一個就是它的2倍
- 換句話說就是EG是
- EB長度的三分之二 我們用這個邏輯來證明
- 我們可以用任意一條中性線來證明
- 幾何中心在中性線的三 分之二處
- 或者把中性線分成1比2的兩條線段
- 我們主要用三角形ABE來證明
- 三角形ABE就在這兒
- 我來畫條中性線
- 我來用相同的方法給它標色
- 我們畫的寬一點
- 看起來我們有兩個黃邊
- 所以它看起來就像這樣
- 就像這樣
- 然後幾何中心就在這兒 點G
- 這就是幾何中心 這條紅色的線經過A
- 然我畫得齊整一點
- 這條線通過A
- 這裡我們還有一條藍色的線 經過F
- 這條藍色的線經過F
- 讓我把所有點標成桔黃色
- 所以這個是E 這是B 這個是A
- 這裡的就是F
- 確保我們標記的都一樣
- 這個小標記就是那邊個的標記
- 這邊的兩個標記就在那兒
- 然後整個過程要證明的是
- EG的長度是GB的兩倍
- 回想一下我們前幾個影片得到的結果
- 中性線把三角形等分成
- 6個面積一樣的小三角形
- 換句話說
- 每三個在同一層的小三角形
- 它們都是6個小三角形中的三個
- 所以它們的面積都相等
- 讓我們考慮這個三角形
- 三角形AGB
- 這個三角形AGB是同樣的三角形
- 讓我們和三角形對比
- 讓我們和三角形EAG對比
- 讓我們把這個三角形和
- 那邊那個原來圖中的三角形對比
- 它們有完全一樣的高
- 如果我們把EG當成底 或者說共同的底
- 它們沒有完全一樣的底
- 這個小三角形的底是E哦抱歉
- 小三角形的底是GB
- 大的藍色三角形的底是EG
- 但它們都是有相同的高 或者說頂垂直線
- 當你這樣畫的時候
- 所以在兩種情況下 它們的高就在這兒
- 我們知道的另一件事是
- 我們知道的另一件事
- 是藍色三角形EAG
- 是桔黃色三角形面積的二倍 我們怎麽知道的呢
- 是因爲它裏面有兩個這樣的三角形
- 換句話說 桔黃色三角形面積是X
- 你想讓我叫它A 呃 我已經用過A了
- 所以我設它爲X
- 那麽每個藍色三角形的面積都是X
- 或者說這整片藍色區域
- 這整片藍色區域面積是2X
- 所以你們看這兩個藍色三角形
- 我們知道面積是二分之一底乘高
- 所以低的一半就是EG的一半
- 我用綠色標記下
- 二分之一EG乘以高 這個黃色的高
- 就等於2X
- 就等於2X
- 我只是應用三角形面積公式
- 面積等於二分之一底乘高
- 讓我們用同樣的方法來算這個桔黃色三角形
- 一半 我往右移一下啊
- 二分之一GB乘以這個黃色的高
- 乘以高 等於X
- 等於X
- 如果等於X 我們可以用X代替
- 我們可以用X來代替整表達式
- 我們這麽做 等到一半
- 你們可能已經知道怎麽回事了
- 但是我不會跳過這步的
- 我們得到二分之一EG乘以H
- 等於2X
- 但是我不用X來表示
- 正如你們看到的 2乘以2乘以二分之一GB
- 乘以這個長度乘以小三角形的底
- 乘以H
- 現在我們化簡
- 我們得到2乘以二分之一就是
- 就是1 兩邊同時除以H
- 我們得到二分之一EG等於GB
- 或者說EG除以2等於
- 我們做了這麽多了 就接著用同樣的顏色吧
- 用同樣的顏色
- 我們可以寫成二分之一EG等於GB
- 等於二分之一GB搞定
- 這就說明GB是EG的一半
- GB是EG的一半 比如說EG是2
- GB就是1 如果EG是4 那麽GB就是2
- 所以我們證明了這個結果
- 現在我們回到最開始
- 這就是我們要證明的結果
- 我們把式子兩邊同時乘以2
- 把式子左邊乘以2我們得到EG
- 式子右邊乘以2 我們得到GB
- 所以我們證明了EG是GB的2倍
- 同理可以用在其他中性線上
- 來證明幾何中心
- 正好在中性線的三分之二處
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